Question

已知：点D是三角形ABC内部一点，且有∠DAC=∠DCB=∠DBA=30° 求证：△ABC为正三角形

请写出过程，非常感谢。

Answer 1

以C为原点，CD为x轴建立直角坐标系，设D(1，0),B(a√3/2，a/2),A(x,y),
则BD斜率k1=(a/2)/(a√3/2-1)=a/(a√3-2),
AB斜率k2=(a-2y)/(a√3-2x),
AC斜率k3=y/x,
AD斜率k4=y/(x-1),
其中a>2/√3，x>0>y,
由∠DAC=∠DBA=30°及到角公式得
(k2-k1)/(1+k2k1)=[(a-2y)/(a√3-2x)-a/(a√3-2)]/[1+(a-2y)/(a√3-2x)*a/(a√3-2)]=1/√3，
[(a-2y)(a√3-2)-a(a√3-2x)]√3=(a√3-2)(a√3-2x)+a(a-2y),
[-2a+(4-2a√3)y+2ax]√3=4a^2-2a√3+（4-2a√3)x-2ay,
(4√3-6a)y+2ax√3=4a^2+(4-2a√3)x-2ay,
(4√3-4a)y=(4-4a√3)x+4a^2,
y=[(1-a√3)x+a^2]/(√3-a),①
(k3-k4)/(1+k3k4)=[y/x-y/(x-1)]/[1+y^2/(x^2-x)]=1/√3，
x^2-x+y^2+y√3=0，②
由①、②解出x,y.
把①代入②，x^2-x+[(1-a√3)x+a^2]/(√3-a)*{[(1-a√3)x+a^2]/(√3-a)+√3}=0，
（x^2-x)(√3-a)^2+[(1-a√3)x+a^2][(1-a√3)x+a^2+3-a√3]=0,
（x^2-x)(3-2a√3+a^2)+(1-a√3)^2x^2+(1-a√3)(2a^2-a√3+3)x+a^4-√3a^3+3a^2=0,
(4a^2-4a√3+4)x^2+(-2√3a^3+4a^2-2√3a)x+a^4-√3a^3+3a^2=0,③
若△ABC是等边三角形，则③的根是a√3/2，
把x=a√3/2代入③，得
3a^4-3√3a^3+3a^2-3a^4+2√3a^3-3a^2+a^4-√3a^3+3a^2
=a^4-2√3a^3+3a^2=a^2(a-√3)^2=0,
仅当BC=a=√3时命题成立。可见，此命题是假命题。

Answer 2

第一步，假设变量==============================
设∠ADC=a1,∠ACD=a2,∠CDB=b1,∠CBD=b2,∠ADB=c1,∠DAB=c2，有
a1+a2+30°=180°
b1+b2+30°=180°
c1+c2+30°=180°
a1+b1+c1=180°
a2+30°+b2+30°+c2+30°=360°

追问

两个错误。
a1+b1+c1=180° 应该=360°

a2+30°+b2+30°+c2+30°=360° 应该=180°

后面怎么没有下文了？

追答

我再研究一下啊…

Answer 3

用三角形相似便可做出，看图片

追问

哥们，这三个角可不是对顶角.

他们相等需要证明，而不是直接拿来用。

Answer 4