Question

a+b+c>0，abc>0，ab+bc+ac>0.求证a,b,c都大于0。(一定要严谨点，其他回答

a+b+c>0，abc>0，ab+bc+ac>0.求证a,b,c都大于0。(一定要严谨点，其他回答总感觉有破绽或者说不清楚)

Answer 1

∵abc>0
∴a≠0，b≠0，c≠0
如果非a>0，b>0，c>0，则必有两个数小于0，否则abc<0
不失一般性，不妨设a<0，b<0，c>0
∵a+b+c>0∴c>-(a+b)
又∵ab+bc+ac>0∴ab+(a+b)c>0
∵ab>0，a+b<0∴c<-ab/(a+b)
∴0<-(a+b)<c<-ab/(a+b)
∴ab>(a+b)²
∴-ab>a²+b²
与-ab<0<a²+b²矛盾
所以a>0,b>0,c>0

追问

乱码了，，，谢谢，我已经找到答案啦O(∩_∩)O

追答

Answer 2

这个很简单嘛 第二个条件 ABC>0 如果有一个数不大于零的话 得到的不是负数就是零

追问

请认真审题。

有俩负一正咋办？！

追答

方法一、
先排序，a>b>c(可以等于，不方便打）又abc>0,若c>0,则得证，所以只有另一种情况b0,所以bc>0,又ab+bc+ac=a(b+c)+bc>0 a>-b-c
所以 （-b-c)(b+c)+bc=-(b^2+bc+c^2)>0 矛盾，所以a,b,c均大于0
方法二、
设，其中1个小于0 那么 abc0矛盾

若a,b,c中有且只有两个不是正数
设a＞0 b＜0 c＜0
因a＋b＋c＞0
则a＞-(b＋c)
从而a(b＋c)＜－(b＋c)^2
所以ab+bc+ca=bc＋a(b＋c)＜bc－(b＋c)^2＝－(b＋c/2)^2－(3/4)c^2＜0
与ab＋bc＋ca＞0矛盾

若a,b,c全都不是正数,则a+b+c0矛盾.
综上所述,假设不成立,因此,a>0,b>0,c>0

追问

我在百度看过了，这有破绽。谢谢。。。。

Answer 3

因为 abc>0
所以a,b,c都为正数，或者其中两个为负数，一个为正数．（只有这两种情况）
假设其中两个为负数，一个为正数．（只需证明此假设不成立，即可得出a,b,c都为正数）
假设a,c为负数，b为正数

只需证明：b(a+c)>-ac不成立即可

点到为止．剩下的自己去思考吧
再给你个提示：设　b = -(a+c) + m; m为正数

追问

废话。。。。

我已经找到答案了，谢谢O(∩_∩)O