Question

已知函数f(x)=3的x次方，且f(a+2)=18,g(x)=3的ax次方

已知函数f(x)=3的x次方，且f(a+2)=18,g(x)=3的ax次方,g(x)=3的ax次方-4的x次方的定义域为[0,1].
(1)求g(x)的解析式
（2）求g(x)的单调区间，确定其增减性并用定义证明
（3）求g(x的值域)

Answer 1

(1).1，f(x)=3^x
f-1(18)=a+2，即f(a+2)=18
3^(a+2)=18
3^a=2、a=log3(2)；
所以g(x)=3^(ax)-4^x=(3^a)^x-4^x=2^x-4^x
即g(x)=2^x-4^x(0≤x≤1)。
(2).g(x)=2^x-4^x
对其求导得
g'(x)=2^xlna-4^xln4=2^xln2(1-2*2^x)
因为x∈[0,1]
所以2^x∈[1,2]，于是g'(x)<0
函数在[0,1]上是减函数。
证明
设0≤x1<x2≤1
g(x1)-g(x2)=(2^x1-2^x2)-[(2^x1)^2-(2^x2)^2]
=(2^x1-2^x2)-(2^x1-2^x2)(2^x1+2^x2)
=(2^x1-2^x2)(1-2^x1-2^x2)
(2^x1-2^x2)<0
2^x1+2^x2>2
所以g(x1)-g(x2)>0
所以递减
(3).因为递减,值域就是[g(1),g(0)]=[-2,0]

Answer 2

(1).1，f(x)=3^x
f-1(18)=a+2，即f(a+2)=18
3^(a+2)=18
3^a=2、a=log3(2)；
所以g(x)=3^(ax)-4^x=(3^a)^x-4^x=2^x-4^x
即g(x)=2^x-4^x(0≤x≤1)。
(2).g(x)=2^x-4^x
对其求导得
g'(x)=2^xlna-4^xln4=2^xln2(1-2*2^x)
因为x∈[0,1]
所以2^x∈[1,2]，于是g'(x)<0
函数在[0,1]上是减函数。
证明
设0≤x1<x2≤1
g(x1)-g(x2)=(2^x1-2^x2)-[(2^x1)^2-(2^x2)^2]
=(2^x1-2^x2)-(2^x1-2^x2)(2^x1+2^x2)
=(2^x1-2^x2)(1-2^x1-2^x2)
(2^x1-2^x2)<0
2^x1+2^x2>2
所以g(x1)-g(x2)>0
所以递减
(3).因为递减,值域就是[g(1),g(0)]=[-2,0]

Answer 3

(1).1，f(x)=3^x
f-1(18)=a+2，即f(a+2)=18
3^(a+2)=18
3^a=2、a=log3(2)；
所以g(x)=3^(ax)-4^x=(3^a)^x-4^x=2^x-4^x
即g(x)=2^x-4^x(0≤x≤1)。
(2).g(x)=2^x-4^x
对其求导得
g'(x)=2^xlna-4^xln4=2^xln2(1-2*2^x)
因为x∈[0,1]
所以2^x∈[1,2]，于是g'(x)<0
函数在[0,1]上是减函数。
证明
设0≤x1<x2≤1
g(x1)-g(x2)=(2^x1-2^x2)-[(2^x1)^2-(2^x2)^2]
=(2^x1-2^x2)-(2^x1-2^x2)(2^x1+2^x2)
=(2^x1-2^x2)(1-2^x1-2^x2)
(2^x1-2^x2)<0
2^x1+2^x2>2
所以g(x1)-g(x2)>0
所以递减
(3).因为递减,值域就是[g(1),g(0)]=[-2,0]