Question

数学最大利润问题

商家经营甲、乙两种商品，甲商品进货价为10元/件，销售价为15元/件，x件甲商品的营运费为0.1x^2元；乙商品进货价为10元/件，销售价为20元/件，y件乙商品的营运费为0.2y^2元.商家经营两种商品可获得的最大利润为多少？

Answer 1

解：设商家经营两种商品可获得的最大利润为m元，
则m=(15-10)x-0.1x +(20-10)y-0.2y
=-0.1(x-25) +62.5-0.2(y-25) +125
=-0.1(x-25) -0.2(y-25) +187.5
∴x=25,y=25时，m取最大值187.5，
∴商家经营两种商品可获得的最大利润为187.5元.

Answer 2

解：
设售出x件甲商品，y件乙商品。
(15-10)x-0.1x²+(20-10)y-0.2y²
=-0.1(x²-50x+625)-0.2(y²-50y+625)+187.5
=-0.1(x-25)²-0.2(y-25)²+187.5
x=25，y=25时，取得最大值187.5
商家经营两种商品可获得的最大利润为187.5元。

Answer 3

p = (15 - 10) * x - 0.1x^2 + (20 - 10)* y - 0.2y^2
p = 5x - 0.1x^2 + 10y - 0.2y^2
p = (50x - x^2 + 100y + 2y^2) / 10
p = [ - (x - 25)^2 + 25^2 - 2(y - 25)^2 + 2 * 25^2] / 10
p = [ -(x-25)^2 - 2(y-25)^2 + 3 * 25^2] / 10
p = [ -(x-25)^2 - 2(y-25)^2 + 1875] / 10
当 x = 25, y = 25 时，p 有最大值。
max(p) = [ -0 - 0 + 1875] / 10 = 187.5 (元)

Answer 4

x = 25, y = 25, 最大利润为 187.5 元。

Answer 5

当单价为200元时，利润最大！n=kx+b
把x=300,n=0代入：b=-300k，则n=kx-300k.
利润w=(x-100)n=k(x-100)(x-300)=k[(x-200)^2-10000]
因为k<0,则（x-200）^2=0时，w最大。