Question

湖南省高一数学联赛预试在什么时候。还有三元一次均值不等式、柯西不等式、琴生不等式的内容及简易证法。

Answer 1

二维形式　　(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2 　　等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d) 　　扩展：（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2; 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3，…，n） 　　三角形式 　　√（a^2+b^2)+√（c^2+d^2）≥√[(a+c)^2+(b+d)^2] 　　等号成立条件：ad=bc 　　注：“√”表示平方根， 　　向量形式 　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a，…，an），β=(b1,b，…，bn）（n∈N，n≥2） 　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。 　　一般形式 　　（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2; 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。 　　上述不等式等同于图片中的不等式。 　　推广形式 　　(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n 　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均 　　不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和） 编辑本段证明　　二维形式的证明（a2+b2)(c2+d2）　（a,b,c,d∈R) =a2·c2 +b2·d2+a2·d2+b2·c2 =a2·c2 +2abcd+b2·d2+a2·d2－2abcd+b2·c2 =(ac+bd)2+(ad－bc)2 ≥（ac+bd)2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。 三角形式的证明　　√（a2+b2)+√（c2+d2）≥√[(a-c)2+(b-d)2] 　　证明：[√（a2+b2)+√（c2+d2)]^2=a2+b2+c2+d2+2*√（a2+b2)*√（c2+d2) 　　≥a2+b2+c2+d2+2*|a*c+b*d| 注：| |表示绝对值。*表示乘 　　≥a2+b2+c2+d2-2（a*c+b*d） 　　=a2-2*a*c+c2+b2-2bd+d2 　　=(a-c)2+(b-d)2 　　两边开根号即得 √（a2+b2)+√（c2+d1）≥√[(a-c)2+(b-d)2] 一般形式的证明　　求证：（∑ai2）（∑bi2) ≥ （∑ai·bi)2 　　证明： 　　等式左边=(ai2·bj2+aj2·bi2)+.................... 共n2 /2项 　　等式右边=（ai·bi）·（aj·bj)+(aj·bj）·（ai·bi)+...................共n2 /2项 　　用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证 向量形式的证明　　令m=(a1,a2，…，an），n=(b1,b2，…，bn) 　　m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√（a12+a22+…+an2) ×√（b12+b22+…+bn2) ×cos<m,n> 　　∵cos<m,n>；≤1 　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√（a12+a22+…+an2) ×√（b12+b22+…+bn2) 　　注：“√”表示平方根。 　　注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。 　　【柯西不等式的应用】　柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。　 　　巧拆常数证不等式 　　例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c) 　　∵a 、b 、c 均为正数　 　　∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b）　 　　又9=(1+1+1)^2 ∴只需证： 　　2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1)2=9　 　　又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足　 　　∴原不等式成立　 　　求某些函数最值 　　例：求函数y=3√（x－5)+4√（9－x）的最大值。（注：“√”表示平方根）　 　　函数的定义域为[5,9]，y>0　 　　y=3√（x－5)+4√（9－x）≤√（32+42）×√{ [√（x－5)] 2 + [√（9－x)] 2 }=5×2=10　 　　函数仅在4√（x－5)=3√（9－x），即x=6.44时取到。　 　　以上只是柯西不等式的部分示例。 　　更多示例请参考有关文献。三角形式证明 ：两边同时平方，展开，消去同样的项，剩余部分再平方，消去同样的项，得一完全平方式，大于或等于0，得证 　　代数形式 　　设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数，则（a1b1+a2b2+...+anbn）①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn（规定ai=0时，bi=0）时等号成立. 　　推广形式的证明 　　推广形式为 　　(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn+…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n (*) 　　证明如下 　　记A1=x1+y1+…，A2=x2+y2+…，…. 　　由平均值不等式得　（1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An）≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n）　=[（Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n）　（1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An）≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n）　=[（Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n），　……　上述m个不等式叠加得　1≥[（Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[（Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…　即（A1*A2*…*An)^(1/n）≥（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…　即 A1*A2*…*An≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n　即（x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn+…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n，　因此，不等式（*）成立. 　　（注：推广形式即为卡尔松不等式） 琴生不等式 　　琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件） 　　设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);设f(x)为凹函数，f[(x1+x2+……+xn)/n]≥f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式（幂平均）。 　　加权形式为： 　　f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 　　ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 　　凸函数的概念： 　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≥f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或下凸函数。 　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≤f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或上凸函数。 　　同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数 　　琴生不等式说， 　　对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 　　对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≤f((x1+x2+...+xn)/n) 　　如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 　　现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。 　　首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法 　　假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1) 　　(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n 　　=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 　　≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 　　≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) 　　=f((x1+x2+...+xn)/n) 　　所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。 　　现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n 　　然后我们设 　　x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 　　代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。 　　现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 　　(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 　　显然，我们可以查看函数f(x)=x^2 　　由于 　　(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 　　所以f(x)=x^2是凸函数 　　所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn, 　　有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 　　也就是n阶平方平均不等式。 　　从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。 　　不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。 　　如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数） 　　如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数) 　　至于这个证明，只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。（或者构造一个函数采用中值定理） 　　有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了， 　　现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式 　　比如 　　i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≥((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1时） 　　ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≤((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0<t<1时） 　　iii) ((x1+x2+...+xn)/n)^n≥x1x2*...*xn 　　其中前面两个取f(x)=x^t就可以了 　　后面一个取f(x)=log(x)就可以了。