Question

已知在梯形ABCD中，AD‖BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．，P为AD上的一点

以点P为顶点，做∠BPN=∠A，交边BC所在的直线于点E，当点E与点C的距离为1cm时，求AP的长。

Answer 1

注意“以点P为顶点，做∠BPN=∠A，交边BC所在的直线于点E”这句话，E是BC所在直线上的点，所以E可以在C点左1cm也可是在C右1cm
以在左1cm为例
过E点做EF∥CD交AD于点F，由已知条件易知梯形ABCD为等腰梯形，所以EFDC为平行四边形，EF=CD=2，DF=EC=1，AF=AD-DF=4,=AP+PF
之后证明△APB∽△FEP（根据内错角和∠BPN=∠A条件易得三个角对应相等），那么就存在比例关系：AP：EF=AB:PF...从而推出AP*PF=EF*AB=4,。再根据AP+PF=4，得出AP=PF=2

如果E在C右1cm，那么交AD延长线于点F，同理可得，只是条件AP+PF=5+1=6，最后得出AP=3-根号5（3+根号5，因为P在AD线段上所以舍掉）

请采纳

Answer 2

第二小问倒数第三排写错了个数字，抱歉，纠正如下：
（2）解：延长pe、dc交于点n，
因为在梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc，
则梯形abcd为等腰梯形，
所以∠a=∠d=∠bpe，
又因为ad∥bc，
则∠d=∠bcn=∠a=∠bpe，∠dpn=∠cen，∠apb=∠pbe，
又因为∠bep=∠cen，
所以∠cen=∠abp，
所以△cen∽△dpn，△cen∽△abp，
所以ce/pd=cn/nd，ce/ab=cn/ap,
所以1/(5-ap)=cn/(2+cn)，1/2=cn/ap，
则2+cn=5cn-ap×cn，cn=ap/2,
所以2+ap/2=5ap/2-ap×(ap/2),
ap^2-4ap+4=0,
（ap-2）^2=0,
所以ap=2.

Answer 3

该题关键是等腰梯形两顶角相等，即角A=角D。
过E点做平行CD的直线角AD与F，则角EFA=角A
这样三角ABP与三角形PCB及三角DPE相识
已知AB=EF=2;AF=AD-CE=5-1=4=AP+PF
根据相似比AP/EF=AB/PF,可得，AP^2-4AP+4=0,解得AP=2