Question

如图，BD是∠ABC的角平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD与点M，PN⊥CD于点N，求证：PM=PN。

求详细解题过程！谢谢！

Answer 1

分析：先由已知条件证明△ABC≌△DBC，证明得到 ∠MDP ＝∠NDP，再由已知和推导条件证明△DMP≌△DNP，最后得到结论
证明：∵ BD是∠ABC的角平分线
　　　∴ ∠ABD = ∠DBC
在△ABC和△DBC中：
AB ＝BC（已知），∠ABD = ∠DBC（已证），BD＝BD（公共边）
∴ △ABC≌△DBC中
∴∠ADB＝∠BDC
又∵ 点P在BD延长线上
∴ 180°－∠ADB = 180°－∠BDC
∴ ∠MDP ＝∠NDP
又∵ PM⊥AD与点M，PN⊥CD于点N
∴ ∠DMP ＝∠DNP＝Rt∠
在△DMP和△DNP中：
∠MDP ＝∠NDP（已证），∠DMP ＝∠DNP （已证），DP＝DP（公共边）
∴ △DMP≌△DNP
∴ PM＝PN