Question

初二数学因式分解的步骤及例题

Answer 1

　因式分解是初二代数中的重要内容，并且它的内容贯穿在整个中学数学教材之中，学习它，既可以培养的观察能力、运算能力，又可以提高综合分析问题、解决问题的能力。转化是本章最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积。这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的。本专题重要讲解两个内容，一是因式风解的几点注意事项，二是因式分解的应用。 　　一、注意事项：
　　1、因式分解与整式乘法互为逆运算 　　
　　2．在提公因式时，若各项系数都是整数，所提的公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。
　　3．如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
　　4．有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，例如：-a-b+c=-(a+b-c)；
　　又如：当n为自然数时，(a-b)2n=(b-a)2n; (a-b)2n-1=-(b-a)2n-1，都是在因式分解过程中常用到的因式变换。
　　5．能运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解的多项式，必须是二项式或视作二项式的多项式，且这二项的符号相反，
　　a、b可表示数，亦可表示字母或代数式，每项都能写成数（或式）的完全平方的形式。
　　5．能运用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2分解的多项式，必须是三项式或视作三项式的多项式，且其中两项符号相同并都能写成数（或式）的完全平方形式，而余下的一项是这两个数（或式）的乘积的2倍。如果三项中的两个完全平方项都带有负号，则应先提出负号，再运用完全平方公式分解因式。 　　例1、把-a2-b2+2ab+4分解因式。
　　解：-a2-b2+2ab+4
　　　=-(a2－2ab+b2-4)
　　　=-[(a2-2ab+b2)-4]
　　　=-[(a-b)2-4]
　　　=-(a－b+2)(a－b－2)
　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的，以免出错。 　　例2、分解因式（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n
　　解：（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n
　　　=（a+b）n[(a+b)2-2(a+b)+1]
　　　=(a+b)n(a+b-1)2
　　本题先运用提取公因式，然后运用完全平方公式
　　例3、分解因式：x4－8x2+16
　　解：x4-8x2+16
　　　=(x2-4)2
　　　=[(x+2)(x-2)]2
　　　=(x+2)2(x-2)2
　　本题注意分解彻底，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 　　二、因式分解的应用：
　　将式子化为若干个因式的乘积，这种转换往往能使复杂的运算展开，转换为一次因式中的简单加减运算，从而大大减化运算过程，这是等价转换的数学思想方法。 　　例1．计算：
　　(1) ;　　(2);
　　(3)2022-542+256×352; 　(4)6212-769×373-1482.
　　分析：此题中有1812-612，3192-2092；17.52-9.52, 131.52-3.52; 2022-542; 6212-1482.使我们考虑到多项式的乘法公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2.
　　它的逆变形是 a2-b2=(a+b)(a-b)
　　应用上述变形式，我们就可以将较为复杂的平方运算，降价转化为简单的加、减运算和乘法运算。 　　解：(1) = = =.

　　(2) = = =.

　　(3) 2022-542+256×352
　　　=(202+54)×(202-54)+256×352
　　　=256×148+256×352
　　　=256×(148+352)
　　　=256×500=128000. 　　(4)6212-769×373-1482.
　　　=(621+148)×(621-148)-769×373
　　　=769×473-769×373
　　　=769×(473-373)
　　　=769×100=76900.
　　通过例1，我们不难得出解此类题目的方法：（1）逆用平方差公式，化平方运算为乘法运算；（2）约分化简或提取因数结合运算求值。同时，例1也反映出分解因式的方法，在简化运算时的重要性。　　例2．求证：(1) 710-79-78=78×41; (2) 109+108+107=5×106×222; (3) 257-512能被120整除； (4)817-279-913能被45整除
　　分析：根据乘法的分配律、对多项式运算有 m(a+b+c)=ma+mb+mc,
　　反过来，我们可以得到 ma+mb+mc=m(a+b+c).
　　应用上述结论，能够恰到好处的达到降低次数，解决本例问题的目的。 　　解：∵(1) 710-79-78=78×(72-7-1)
　　　　　　 =78×(49-8)=78×41,
　　∴710-79-78=78×41. 　　(2)∵ 109+108+107=107×(102+10+1)
　　　　 =107×(100+11)=106×10×111
　　 　　=5×106×222
　　∴109+108+107=5×106×222. 　　(3)∵257-512=(52)7-512
　　　　=514-512=511×(53-5)
　　　　=511×(125-5)=511×120,
　　∴257-512能被120整除； 　　(4)∵817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13
　　　　=328-327-326=324×(34-33-32)
　　　　=324×(81-27-9)=324×45,
　　∴817-279-913能被45整除. 　　通过例2，我们可以看出，解决此类整除问题的主要思路是：（1）提取适当的因数；（2）将提取因数后的其他数的代数和化简，得到我们能够说明问题的结论，从而解决问题。 　　例3．已知a= , b=, 求(a+b)2-(a-b)2的值。 　　解：(a+b)2-(a-b)2
　　　 =[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]
　　　 =2a·2b=4ab,
　　∴(a+b)2-(a-b)2=4×× =. 　　例4．解方程：
　　(1)(65x+63)2-(65x-63)2=260; 　　(2)(78x+77)(77x-78)=(78x+77)(77x+78).
　　解：(1)逆用平方差公式，把原方程化为其等价形式
　　[(65x+63)-(65x-63)][(65x+63)+(65x-63)]=260,
　　即126×130x=260, ∴ x=.
　　(2)原方程可化为 (78x+77)(77x-78)-(78x+77)(77x+78)=0,
　　即-78×2×(78x+77)=0,
　　78x+77=0, ∴ x=- .
　　通过例4可见，应用等价转化思想来因式分解，往往可以将较高次的方程，巧妙转化为最简方程，从而求出方程的根。　　例5．（248-1）可以被60与70之间的两个数整除，这两个数是（　 ）
　　A、61,63　　　 B、61,65　　 C、63,65　　　 D、63,67 　　解：248-1=(224+1)(224-1)
　　　=(224+1)(212+1)(212-1)
　　　=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1),
　　∵ 26+1=65, 26-1=63.
　　∴ 应选C。

Answer 2

把握：一提：提取公因式 二套：套公式 三分组：分组分解