Question

两个矩阵特征值相同能否推出秩相同？

目前可以推出的是对于特征值中没有0的n阶矩阵，由于行列式的值为特征值乘积，可知行列式不为0，即矩阵可逆，所以矩阵的秩为n。但是当特征值中有0的情况我就不能证明了。

Answer 1

那把题改一改：两个可以相似对角化的矩阵，如果他们的特征值相同，能否推出秩相同？哈哈，继续研究，矩阵概念无限啊……n阶矩阵，可以对角化说明有n个线性无关的特征向量。有n个不同特征值的时候有两种情况：1、特征值均不为零，秩明显等于n。2、一个特征值为0，由特征向量的定义Ax=λx，可知Ax=0有非零解，且基础解系中线性无关的向量只有一个，所以A的秩为n-1。特征值有重根时有三种情况：1、特征值均不为0，矩阵可逆，秩为n。2、特征值中有一个为0，和上面的2相同。3、特征值中0为m重根。由于A可以对角化，可知Ax=0的基础解系中线性无关的向量有m个，所以A的秩为n-m。证完以上证明概括一下可得1、特征值中没有0个情况，矩阵可逆，秩为n。2、特征值中有m个0的情况，由于A可以对角化，可知Ax=0的基础解系中线性无关的向量有m个，所以A的秩为n-m。现在发现just_1110真是太强大了！[]

Answer 2

就是这样的，理解特征值的时候要考虑重数，也就是特征值都是0，但一个是1重的，1个是n重的，自然不一样如果两个矩阵的特征值相同，包括重数，那样秩就应该是相同的

Answer 3

呵呵，LZ分析的好细致其实这样就可以了，因为A和B都可相似对角化，又A和B的特征值相同，所以其相似矩阵是相同的，设为C。A~C,B~C,根据相似传递性，A~B，相似矩阵秩相同，所以R(A)=R(B) 你可以看看李永乐的线代辅导讲义，写的很不错

Answer 4

特征值相同，不一定相似，也不一定合同。
但
1）如果都是对称矩阵，那么特征值相同，能推出合同
2）如果两矩阵都可以相似对角化，则两矩阵特征值相同，能推出相似

Answer 5

是不是需要加上同型矩阵的条件？如果两个同型矩阵，特征值相同，并且特征值的个数也相同,他们的秩是不是相同？