Question

我想要椭圆、双曲线、抛物线的通径公式，及求证过程

Answer 1

准线：椭圆和双曲线：x=(a^2)/c
抛物线：x=p/2 （以y^2=2px为例）

焦半径：
椭圆和双曲线：a±ex （e为离心率。x为该点的横坐标，小于0取加号，大于0取减号）
抛物线：p/2+x （以y^2=2px为例）

以上椭圆和双曲线以焦点在x轴上为例。

弦长公式：设弦所在直线的斜率为k,则弦长=根号[（1+k^2）*(x1-x2)^2]=根号[（1+k^2）*((x1+x2)^2-4*x1*x2)] 用直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去y即得到关于x的一元二次方程，x1，x2为方程的两根，用韦达定理即可知x1+x2和x1*x2，再代入公式即可求得弦长。

抛物线通径=2p

抛物线焦点弦长=x1+x2+p 用焦点弦的方程与圆锥曲线的方程联立，消去y即得到关于x的一元二次方程，x1，x2为方程的两根

Answer 2

　圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线
　　1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
　　2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
　　3. 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
　　4. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
　　·圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
　　·圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程：
　　1）椭圆
　　参数方程：x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ为参数 )
　　直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
　　2）双曲线
　　参数方程：x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ为参数 )
　　直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）
　　3）抛物线
　　参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)
　　直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )
　　圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
　　ρ=ep/(1-e×cosθ)
　　其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
　　焦点到最近的准线的距离等于ex±a
　　。圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）
　　椭圆：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。
　　|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex
　　双曲线：
　　P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex
　　P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex
　　P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey
　　P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey
　　圆锥曲线的光学性质：
　　1）椭圆：点光源在一个焦点上，光线通过另一个焦点。
　　2）双曲线：点光源在一个焦点上，反射光线与另一焦点到反射点的连线在同一条直线上。
　　3）抛物线：点光源在焦点上，反射光线相互平行且垂直于准线。具体应用：探照灯。