Question

急求解。。。。。。 设函数f(x)=x(x-1)²,x＞0 (1)求f(x)的极值 (2)设0

急求解。。。。。。

设函数f(x)=x(x-1)²,x＞0
(1)求f(x)的极值
(2)设0＜a≦1，记f(x)为(0，a]上的最大值为F(a)，求函数G(a)=F(a)/a的最小值
(3)设函数g(x)=㏑x-2x²+4x+t(t为常数)，若使g(x)≦x+m≦f(x)在,x＞0上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值

Answer 1

(1) f'(x) = (x - 1)² + x*2(x - 1) = (x - 1)(3x - 1)
f'(x) = 0, x = 1, x = 1/3
0 < x < 1/3: x - 1 < 0, 3x - 1 < 0, f'(x) > 0, 增函数
1/3 < x < 1: x - 1 < 0, 3x - 1 > 0, f'(x) < 0, 减函数
x > 1: x - 1 > 0, 3x - 1 > 0, f'(x) > 0, 增函数
极大值: f(1/3) = 4/27
极小值: f(1) = 0

(2)
由(1)
(i) a ≤ 1/3时, f(x)(0，a]上的最大值为f(a) = a(a - 1)²
G(a) = (a - 1)², 此为开口向上的抛物线，对称轴a = 1, 最小值: G(a) = (a - 1)²

(ii) 1/3 < a ≤ 1时, f(x)(0，a]上的最大值为f(1/3)= 4/27
G(a) = F(a)/a = 4/(27a), 最小值: G(a) = 4/(27a)

(3)
h(x) = g(x) - (x + m) = lnx - 2x² + 4x + t - x - m = lnx - 2x² + 3x - m
h'(x) = 1/x - 4x + 3 = (-4x² + 3x + 1)/x
定义域 x > 0, 现在只需考虑分子的符号。
-4x² + 3x + 1 = (4x + 1)(1 - x) = 0, x = 1
0 < x < 1: h'(x) > 0
x > 1: h'(x) < 0
最大值h(1) = 1 + t - m
若使g(x)≤x+m恒成立, 即h(x) ≤ 0恒成立, 1 + t - m≤ 0, m ≥ t + 1 (i)
H(x) = f(x) - (x + m) = x(x-1)² - (x + m)
H'(x) = x(3x - 4) = 0
x = 4/3
0 < x < 4/3: H'(x) < 0
x > 4/3: H'(x) > 0
最小值: H(4/3) = -32/27 - m
若使x + m ≤ f(x)恒成立, 即H(x) ≥ 0恒成立, H(4/3) = -32/27 - m ≥ 0, m ≤ -32/27  (ii)
实数m只有一个值，比较(i)(ii), 则 m = -32/27
t ≤ m - 1 = -59/27