Question

用ε-N定义证明下列极限，第2第4题怎么做啊，答案提示都看不懂

Answer 1

　　2）对任给ε>0，要使
　　　　|[n - √(n^2 - n)] - 1/2| = n/{2[n + √(n^2 - n)]^2} < 1/2n < 1/n < ε，
只需 n >1/ε，取N = [1/ε]+1，则当 n>N 时，有
|[n - √(n^2 - n)] - 1/2| < ε
依数列极限的定义，已证得
lim [n - √(n^2 - n)] = 1/2。

　　4）记 a(n) = n^(1/n) - 1，有 a(n) >= 0，则有
n = [a(n) - 1]^2
= …… (按二项式展开)
< [n(n-1)/2][a(n)]^2，
可得
0 <= a(n) <= √[2/(n-1)] <= 2/√n (n>2)，
故对任给ε>0，要使
　　　　|n^(1/n) - 1| = a(n) <= 2/√n < ε，
只需 n > (2/ε)^2，取 N = [(2/ε)^2]+2，则当 n>N 时，有
| n^(1/n) - 1| < ε
依数列极限的定义，得证
lim n^(1/n) = 1。