Question

已知函数f(x)=x^2+a/x,若函数f(x)在x∈【2,正无穷）上为增函数。求实数a取值范围

Answer 1

利用导数来求。
f'(x)=2x-a/x^2，在x∈[2,正无穷）恒为正
f'(x)=(2x^3-a)/x^2>0，又x^2>0，因此只需要2x^3-a>0即可，即2x^3-a的最小值不小于零即可，当x=2时，函数有最小值，此时只需要16－a>=0，即a<=16,此时保证f'(x)在x∈[2,正无穷）上恒正，则函数在x∈[2,正无穷）上单调增。

追问

谢谢。为什么大于零即不小于，等于怎么来呢

追答

导数只要在一些离散的点的值为0并不影响函数的单调性，如果有某一段上恒为零，则在这一段上会是水平的一段，不满足单调性的定义，即不增不减。因此在一些离散的点上导数值为0，不影响其单调性的。

Answer 2

f(x)=x^2+a/x=(x+a/2)^2-(a/2)^2
-a/2=2
a=-4