Question

函数解析式的求法-解方程法

为什么{2f(x)+f(1/x)=x
2f(1/x)+f(x)=1/x 可已得到f(x)=(2/3)x-1/(3x)
求详细过程
原题是2f(x)+f(1/x)=x 求f(x)解析式

Answer 1

对的 你已经写出 2f(x)+f(1/x)=x.........1
2f(1/x)+f(x)=1/x.........2
所以联立两个方程把f(1/x)消掉就可以了。所以式1*2-式2有3f(x)=2x-1/x，于是f(x)=2/3x-1/(3x)

追问

怎么把f(1/x)消去的.. 具体步骤麻烦说明白点。。 还有 可以消去f(x)吗？过程...

追答

2f(x)+f(1/x)=x.........(1) 2f(1/x)+f(x)=1/x.......(2)
(1)*2不就变成了 4f(x)+2f(1/x)=2x........(3) 了么
这样(2)-(3)不久把f(1/x)消去了么然后就有-3f(x)=1/x-2x所以f(x)=2x/3-1/(3x)
消去f(x)当然也可以了，消去f(x)就解出来f(1/x)了

其实当我们有2f(1/x)+f(x)=1/x，其实相当于我们有了f(x)和f(1/x)之间的1个关系式(一个二元一次方程)，为了解出f(x)我们必须还知道第二个关系式才可以(二元一次方程组才有唯一解)，所以我们令x取倒数所以就有了2f(1/x)+f(x)=1/x。这是就相当一有了一个二元一次方程组。
其实你可以把f(x)和f(1/x)分别当成两个未知数a和b，等式右边的1/x和2x当成已知数，所以就有了2a+b=x，2b+a=1/x，然后你就知道为什么要“(1)*2-(2)”了吧？这样就解出f(x)=a=2x/3-1/(3x)
求f(1/x)就相当于求b了，(1)-(2)*2就解出f(1/x)=b=2/(3x-x/3)

Answer 2

解：将x换成1/x代入2f(1/x)+f(x)=x...1'式得2f(x)+f(1/x)=1/x.....2'
将1‘式，2’式联立得出二元一次方程组，消去f(x)，解得f(x)=2/(3x)-(1/3)x