Question

证明数列收敛性

证明这个数列的收敛性：Xn=1/2x3/4······(2n-1)/2n

Answer 1

利用“单调有界数列必收敛”的定理来证明
因为Xn=1/2*3/4*...*(2n-1)/2n<1/2*3/4*...*(2n-3)/(2n-2)=X(n-1)
所以{Xn}是单调递减数列
又因为0<Xn<X(n-1)<...<X1=1/2
所以{Xn}是有界数列
综上所述{Xn}收敛

Answer 2

xn=xn-1 * (2n-1)/2n<xn-1
所以xn是单调递减的，
同时xn>0，所以xn一定有极限。

Answer 3

答案是0，采用夹逼的方法做。
xn=1/2x3/4······(2n-1)/2n
yn=2/3x4/5……2n/(2n+1)
由于xn的每一个因子数 都比yn小，所以xn<yn
而xn*yn可以抵消所有中间项，xn*xn<xn*yn=1/(2n+1)
所以0<xn<1/(2n+1)开根号。
左右极限都为0，所以xn极限也为0.