Question

初中二次函数，求解析式

题目：抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x+2=0,且在x轴上截取长度为2倍根号2的线段，求解析式？问题1，为什么由X+2=0可设y=a(X+2)²k，式子y=a(X+2)²+k是怎么出来的？问题2， 由抛物线特征可知，其对称轴垂直平分其在X轴上截取的线段，因此可知该抛物线必过（﹣2±√2,0）两点，必过（﹣2±√2,0）两点是怎么来的？我函数刚开始学，所以还请大家多多指点！谢谢请讲的清晰一些，谢谢

Answer 1

问题1、
因为题中说到，抛物线的对称轴是直线x+2=0，即抛物线的对称轴为x=-2，将函数设成y=a(X+2)²+k 就是根据对称轴所设的一个普遍解析式，或许你也可以这样理解：抛物线根据直线 x=-2 对称，则无论抛物线开口向上或开口向下，它必与直线 x=-2 有且只有一个交点（因为题中介绍是二次抛物线），而且这个点必然是最值点，这个最值就是上面所讲的 k 。又由于题目未交代幅度系数，故暂且设为 a。所以题目才会根据对称轴这一信息就直接设出 y=a(X+2)²+k 这个一般解析式来的。
提醒：其实任何一个二次函数只要它二次项（x²）及一次项(x)前的系数不等于0，它都可以配成 y=A(x-对称轴)²+最值 的这种形式，其中A暂且称其为幅度系数，
当A>0时，抛物线开口朝上，则此时函数有最小值；
当A<0时，抛物线开口朝下，则此时函数有最大值。
若一次项前系数为零，也适用于 y=A(x-对称轴)²+最值 这个形式，只不过对称轴为x=0罢了。
根据这个方法随便自己多举几个例子，先分别用描点法描出图形，然后再根据描出的图形去和我讲的那个规律进行比对，看是否对得上，如果对得上，那以后那些规律就可以当结论来记了，对你以后的解题无论从时间还是正确率上都会有所帮助的。
问题2、
二次抛物线只要没有限定定义域的话，它跟坐标轴基本上都有两个交点，一些特殊的情况除外，特殊情况先后面再归纳，因为此题已经暗地里告诉你一个信息：即图形与x轴有2个交点（从“在x轴上截取长度为2倍根号2的线段”这句话就可以得出），而且这两个点关于 对称轴和x轴的交点（即x=-2） 相对称，两点到对称点（即x=-2）的距离是相等的，若交点与对称点之间的距离设为c，则2个交点之间的距离就为2c，而题目中告知“在x轴上截取长度为2倍根号2的线段”，就可知 2c=2√2===> c=√2，这个值只是长度，而且是关于点x=-2对称的长度，故要转化到具体的坐标，则需要把对称点“-2”这个值也考虑进去，因此左点横轴的坐标为：-2-√2，右点横轴为：-2+√2，由于这两点是x轴上的点，故这两个点的纵坐标，即y轴的值为0，故这两个点的完整坐标为： 左点（-2-√2，0）、右点（-2+√2，0）
由于函数过：（-1，-1），（-2-√2，0）和（-2+√2，0）三点，代入 y=a(X+2)²+k 分别求出 a和k的值即可得出最终函数的解析式了。

总结一下：
任何二次函数都可以设成 y=A(x-b)²+C 的形式，其中：A为幅度系数、b为对称轴、C为常数项，即最值点；

A>0 b不等于0 C>0 抛物线开口朝上，有最小值C，图形与x轴无交点

A>0 b不等于0 C=0 抛物线开口朝上，有最小值C=0，图形与x轴只有一个交点

A>0 b不等于0 C<0 抛物线开口朝上，有最小值C，图形与x轴有两个交点

A>0 b=0 C>0 抛物线开口朝上，有最小值C，图形与x轴无交点

A>0 b=0 C=0 抛物线开口朝上，有最小值C=0，图形与x轴只有一个交点

A>0 b=0 C<0 抛物线开口朝上，有最小值C，图形与x轴有两个交点

A<0 b不等于0 C>0 抛物线开口朝下，有最大值C，图形与x轴有两个交点

A<0 b不等于0 C=0 抛物线开口朝下，有最大值C=0，图形与x轴只有一个交点

A<0 b不等于0 C<0 抛物线开口朝下，有最大值C，图形与x轴无交点

A<0 b=0 C>0 抛物线开口朝下，有最大值C，图形与x轴有两个交点

A<0 b=0 C=0 抛物线开口朝下，有最大值C=0，图形与x轴只有一个交点

A<0 b=0 C<0 抛物线开口朝下，有最大值C，图形与x轴无交点
当对称轴b=0时，则其对称轴即为y轴；
若图形与x轴有两个交点，且两点之间的距离为2d，则左右两点的坐标分别为：
左点（对称点-d，0）、右点（对称点+d，0）

Answer 2

二次函数y＝ax²＋bx＋c﹙a≠0﹚通过配方，
可以化成y＝a﹙x＋b／2a﹚²＋﹙4ac－b²﹚／4a的形成；
设d＝b／2a，k＝﹙4ac－b²﹚／4a，
就成了y=a(x+d)²+k的形式，
其中对称轴是x＝d，顶点坐标是﹙d，k﹚，
∵原题对称轴是直线x+2=0﹚，∴可设y=a(x+2)²+k。
抛物线在x轴上截取长度为2√2的线段，
这两个点在对称轴两边，且距对称轴√2个单位，
因此抛物线必过（﹣2－√2，0）与（﹣2＋√2，0）两点。

追问

这道题会了，谢谢，还要麻烦你一下！

还有一道题是求Y
√（√3/3）²+（y)²=2√3/3——大根号下：3分之根号3的平方+括号Y的平方=3分之2倍根号3
大根号解出来是什么？ 是这个吗（√3/3）+（y)=2√3/3 我觉得Y应该得√3/3 可是答案却是1，为什么？

追答

由“大根号下﹙3分之根号3的平方+括号Y的平方﹚=3分之2倍根号3”，
两边月同时平方得
﹙√3／3﹚²＋y²＝﹙2√3／3﹚²，
即1／3＋y²＝4／3，
∴y²＝1；
………

Answer 3

题目打错了,应该是
已知二次函数y=mx^2+2(m-1)x+m+1图象的顶点在直线y=3x-1上，求解析式。
二次函数y=mx^2+2(m-1)x+m+1图象的顶点:
x=-2(m-1)/2m,y=[4m(m+1)-4(m-1)^2]/4m;
顶点在直线y=3x-1上,所以
3[-2(m-1)/2m]-1=[4m(m+1)-4(m-1)^2]/4m
解得m=4/7.
解析式为y=(4/7)x^2-(6/7)x+13/7