Question

计算三重积分 ∫∫∫zdv,其中Ω是由曲面x^2+y^2=2z与平面z=2平面所围成的闭区域.

Answer 1

计算三重积分 ∫∫∫zdv，其中Ω是由曲面x^2+y^2=2z与平面z=2平面所围成的闭区域计，计算过程如下：

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ。

计算方法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

1、区域条件：对积分区域Ω无限制。

2、函数条件：对f（x,y,z）无限制。

3、区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成。

4、函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

Answer 2

计算三重积分 ∫∫∫zdv，其中Ω是由曲面x^2+y^2=2z与平面z=2平面所围成的闭区域计，计算过程如下：

扩展资料：

三重积分计算的基本原理：

三重积分的计算，首先要转化为“一重积分+二重积分”或“二重积分+一重积分”。

当然如果把其中的“二重积分”再转化为“累次积分”代入，则三重积分就转化为了“三次积分”，这个属于二重积分化累次积分，可参考上一篇文章，不再赘述。

与二重积分类似，三重积分仍是密度函数在整个取值范围内每一个点都累积一遍，且与累积的顺序无关（按任意路径累积）。

既然如此，按规则的路径来累积。

三重积分直角坐标系法：

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法：

（1）先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

（2）先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

Answer 3

Answer 4