如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M N E F分别是棱A1B1,A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN平行平面EFDB
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证明：连接A1C1，D1B1 记A1C1和D1B1交于点O，A1C1交MN于点P，交EF于点Q
因为M N E F分别是棱A1B1,A1D1，B1C1，C1D1的中点，所以MN平行B1D1，且EF平行D1B1,则由平行线定理可知MN平行EF
所以由线面平行定理可知MN平行平面EFBD
再分别连接AP，YQ (AC与BD交点Y）
因为上底面平行于下底面，所以PQ平行AY(平面A1C1CA为平行四边形) 用几何知识可知PQ=AY(三角形里的定理，不详细说明)因此可证得四边形PQYA为平行四边形，则AP平行QY
所以由线面平行定理可知AP平行于平面EFBD
又因为AP交MN于点P 且都属于平面AMN
所以由面面平行定理（一个平面内有两条相交直线都与另一个平面，则两平面平行）
可证平面AMN平行平面EFDB
因为M N E F分别是棱A1B1,A1D1，B1C1，C1D1的中点，所以MN平行B1D1，且EF平行D1B1,则由平行线定理可知MN平行EF
所以由线面平行定理可知MN平行平面EFBD
再分别连接AP，YQ (AC与BD交点Y）
因为上底面平行于下底面，所以PQ平行AY(平面A1C1CA为平行四边形) 用几何知识可知PQ=AY(三角形里的定理，不详细说明)因此可证得四边形PQYA为平行四边形，则AP平行QY
所以由线面平行定理可知AP平行于平面EFBD
又因为AP交MN于点P 且都属于平面AMN
所以由面面平行定理（一个平面内有两条相交直线都与另一个平面，则两平面平行）
可证平面AMN平行平面EFDB
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