Question

一个有关范德蒙德行列式的问题？

D= 1 1 1 1
1 2 4 8
1 3 9 27
1 4 16 64
可得D=1 X 2 X 3 X 1 X 2 X 1
问题：可得中的 1 2 3 1 2 1 几个数字分别是怎么来的？谢谢老师

Answer 1

范德蒙德行列式是如下形式的，
1 1 …… 1
x1 x2 …… xn
x1^2 x2^2 …… xn^2
……
x1^(n-1) x2^(n-1) …… xn^(n-1)
其第一行的元素全部是1，（可以理解为x1,x2,x3……xn的零次方）
第二行的元素则为x1,x2,x3……xn， （即x1,x2,x3……xn的一次方）
以此类推，
第n行的元素为x1^(n-1) x2^(n-1) …… xn^(n-1) （即x1,x2,x3……xn的n-1次方）
这个行列式的值是等于（Xi -Xj）的全体同类因子乘积（n>=i>j>=1）
全体同类因子就是说所有满足（n>=i>j>=1）的Xi -Xj都要乘进去，
比如说X2 -X1、X3 -X1、X3 -X2……Xn -Xn-1
是一个连乘式子

那么在这里，
x1=1，x2=2，x3=3，x4=4
所以
D=(x2-x1)*(x3-x1)*(x4-x1)*(x3-x2)*(x4-x2)*(x4-x3)
=1*2*3*1*2*1
=12

Answer 2

这是范德蒙行列式的转置形式
它等于 所有 下方数字 减 上方数字 的连乘积
即 D = (2-1)(3-1)(4-1) (3-2)(4-2) (4-3)