Question

请概率学的好的同学帮我看看下面这道题目，谢了！！！

Answer 1

a) P(A|D)=P(AD)/P(D)=\sum_{k>=1}P(ADB_k)/P(D)=\sum_{k>=1}P(ADB_k)/P(DB_k)*P(DB_k)/P(D)=\sum_{k>=1}P(A|DB_k)*P(DB_k|D)
此问为条件概率的全概率公式。
b)P(E|X=1)=首次掷得正面的情况下先于s次失败得到r次成功的条件概率，此概率等于以下两概率的和
1. 接下来的r-1次掷硬币得到的均是正面，概率为p^{r-1};
2. 接下来的掷硬币连续得到正面的次数不足r-1次（分别为0,1，2，...，r-2次），则在得到反面后试验从新开始为首次掷得反面的情况下先于s次失败得到r次成功的条件概率:
\sum_{k=0}^{r-2}P{连续得到正面的次数为k}P(E|X=0)=\sum_{k=0}^{r-2}p^k(1-p)P(E|X=0)=(1-p^{r-1})P(E|X=0).

对称的有：P(E|X=0)=(1-p)^{s-1}+(1-(1-p)^{s-1})P(E|X=1)

利用P(E|X=0)=(1-p)^{s-1}+(1-(1-p)^{s-1})P(E|X=1)
P(E|X=1)=p^{r-1}+(1-p^{r-1})P(E|X=0)解得
P(E|X=1)=【p^{r-1}+(1-p^{r-1})（1-p）^{s-1}】/【1-(1-p^{r-1})(1-p^{s-1})】，然后代入下式即可：
P(E)=P(E|X=0)P(X=0)+P(E|X=1)P(X=1)=P(E|X=0)(1-p)+P(E|X=1)p