Question

多项式f(x)除以(x-1)^2，(x+2)^2余式分别为3x+2，5x-3。那么f(x)除以(x-1)^2(x+2)^2的余式为？

答案中是这样写的，可是我看不懂f(x)=(x-1)^2(x+2)^2Q(x)+(x-1)^2(mx+n)+3x+2 f(x)=(x-1)^2(x+2)^2Q(x)+(x+2)^2(mx+t)+5x-3 我不明白这样设的道理是什么，根据什么这样设，而且为什么一个设的n ,一个设t,麻烦高手好好帮我解答一下，跪谢

Answer 1

设f(x)=(x-1)^2(x+2)^2g(x)+r(x),则余式r(x)低于4次，
f(x)除以(x-1)^2,(x+2)^2余式分别为3x+2,5x-3,
余式r(x)最多是3次式，除以二次式的商是一次式，由于r(x)的3次项是确定的，两个除式的二次项都是x^2,所以商式的一次项系数相同，设为m,而常数项不同，分别设为n,t,以便用待定系数法确定m,n,t.
∴r(x)=(x-1)^2(mx+n)+3x+2=(x^2-2x+1)(mx+n)+3x+2
=(x+2)^2(mx+t)+5x-3=(x^2+4x+4)(mx+t)+5x-3,
r(x)的二次项系数=n-2m=t+4m，t=n-6m,①
一次项系数=-2n+m+3=4m+4t+5,3m+2n+4t=-2,②
常数项=n+2=4t-3,n=4t-5,③
把①代入②，6n-21m=-2,④
把①代入③，n=4n-24m-5,3n-24m=5,⑤
由④、⑤解得m=-4/9,n=-17/9
代入①,t=7/9
∴r(x)=(x-1)^2(-4x-17)/9+3x+2,
剩下化简，留给您练习。可以吗？