Question

一道几何题，求大神解答！

不知道是不是无解

Answer 1

解：以BC为边向左作等边三角形BCF，连接EF，以EF边向下作等边三角形EFG，连接AF ,DF ,AG
所以BC=BF=CF
角BCF=角FBC=角CFB=60度
EF=EG=FG
角EFG=角FEG=角EGF=60度
因为角CAE=10度
角BAE=70度
所以角BAC=角CAE+角BAE=10+70=80度
因为角CBD=20度
角ABD=60度
所以角ABC=角ABD+角CBD=20+60=80度
所以角BAC=角ABC=80度
所以AC=BC
因为角ACB+角BAC+角ABC=180度
所以角ACB=20度
所以角ACB=角CBD=20度
所以BD=CD
因为FD=FD
所以三角形CDF和三角形BDF全等（SSS))
所以角CFD=角BDF=1/2角BFC=30度
CF=AC
所以角AFC=角CAF
因为角ACF=角BCF-角ACB=60-20=40度
角ACF+角CAF+角AFC=180度
所以角AFC=角CAF=70度
因为角ADF=角ACF+角CFD=30+40=70度
所以角ADF=角CAF=70度
所以AF=DF
因为角CAF+角ADF+角AFD=180度
所以角AFD=40度
因为角AFB=角AFC-角BFC=70-60=10度
所以角AFB=角CAE=10度
因为角ABF=角ABC-角CBF=80-60=20度
所以角ABF=角ACB=20度
因为AC=BF（已证）
所以三角形ABF和三角形ECA全等（ASA)
所以AF=AE
所以角AFE=角AEF
因为角EAF=角CAF+角CAE=70+10=80度
角EAF+角AFE+角AEF=180度
所以角AFE=角AEF=50度
因为AG=AG
EG=FG（已证）
AE=AF（已证）
所以三角形AGE和三角形AGF全等（SSS)
搜I药角AGF=角AGE=1/2角EGF=30度
因为角AFG=角EFG-角AFE=60-50=10度
角DFE=角AFE-角AFD=50-40=10度
所以角AFG=角DFE=10度
因为EF=FG（已证）
AF=DF（已证）
所以三角形AFG和三角形DFE全等（SAS)
所以角AGF=角DEF=30度
因为角AED=x=角AEF-角DEF=50-30=20度
所以X=20度

Answer 2

如图所示：

 

Answer 3

强烈抵制某同志严重贬低初等数学的言论！！！难道某同志非比寻常，不是从初等数学开始学，而是一出娘胎就学高等数学的？要是真的很牛就自己开创一门比微积分高明N倍的高高等数学啊。牛顿、莱布尼茨难道不是从初等数学开始一步一个脚印学起来的吗？他们是积累到一定阶段才在前人的基础上发现极限和微积分的，人家都不说初等数学怎么怎么地（牛顿同志还说过他是站在巨人的肩膀上呢），某同志又有什么资格说！如果微积分是科学的大门，那初等数学就是通往这扇大门的道路；如果连路都不要了，我看某同志怎么去通向科学的大门，从天上飞过去不成？没有初等数学提供那么多难题来训练大脑，逼得大师们去寻找其它有突破性的新型理论工具，今天的数学又从哪里来的进步！典型的娶了媳妇忘了娘……

我就用初等数学的方法来解一解。首先是将元素抽象化，草地边缘抽象为圆周，木桩抽象为圆周上一点，绳子抽象为线段，羊抽象为绳子端点（即线段端点）。这样原题可变为：已知一个定圆，取圆周上一点为圆心，画一个新的圆，且两圆相交部分的面积恰为定圆面积的一半，求两圆的半径比。

设草地为⊙P，半径为R；设木桩为点P，即为新圆⊙Q圆心，设⊙Q半径为r；设⊙P与⊙Q的两个圆周交点为A、B；连接AB、PQ，AB与PQ交于点O；连接PA、PB、QA、QB；延长QP与⊙P圆周交于点F，连接FA、FB。

首先可知PF=PQ=PA=PB=R，QA=QB=r；FQ是⊙P直径，因此FA⊥QA，FB⊥QB；AB为⊙P与⊙Q的公共弦，易证PQ⊥AB，OA=OB，∠OPA=∠OPB=∠APB/2，∠OQA=∠OQB=∠AQB/2。

为解题方便，设∠OPA=∠OPB=a(弧度)、∠OQA=∠OQB=b(弧度)，设∠AQB=x(弧度)，则b∈(0，π/2)，x=2b，x∈(0，π)，∠APB=2a；由圆周角与对应圆心角的关系，可知∠PFA=∠OPA/2=a/2(弧度)。

将几何关系用代数式表示：
FA⊥QA：∠PFA+∠OQA=π/2，即a/2+b=π/2，因此：
a=π-2b ………………………………………………………………………（1）
PQ⊥AB：OP=PAcos∠OPA=Rcosa，OQ=QAcos∠OQA=rcosb，OP+OQ=PQ，即：
Rcosa+rcosb=R ………………………………………………………………（2）
PQ⊥AB：OA=PAsin∠OPA=Rsina，OA=QAsin∠OQA=rsinb，即：
Rsina=rsinb …………………………………………………………………（3）

两圆相交部分面积（记为S）等于⊙P与⊙Q的两个弓形（记为Gp与Gq）面积之和，而两个弓形面积分别等于两个扇形（记为Sp与Sq）面积减去对应的圆心三角形ΔPAB、ΔQAB面积（记为SΔp、SΔq）：
Sp=π(R^2)×(∠APB)/(2π)=π(R^2)(2a)/(2π)=aR^2，（R^2表示R平方，下同）
Sq=π(r^2)×(∠AQB)/(2π)=π(r^2)(2b)/(2π)=br^2，
SΔp=AB×OP/2=OA×OP=Rsina×Rcosa=R^2sinacosa，
SΔq=AB×OQ/2=OA×OQ=rsinb×rcosb=r^2sinbcosb，
S=(Gp-SΔp)+(Gq-SΔq)=aR^2-R^2sinacosa+br^2-r^2sinbcosb，
现知S是⊙P面积的一半，即：
aR^2-R^2sinacosa+br^2-r^2sinbcosb=(πR^2)/2 ………………………（4）

由（3）知r=Rsina/sinb，连同（1）一同代入（4），利用相关的三角函数关系式，可消元、移项化简得关于b的关系式：
π-4b+sin4b+8b(cosb)^2-4sin2b(cosb)^2=0 ………………………………（5）
再利用正弦、余弦倍角关系sin4b=2sin2bcos2b、(cosb)^2=(1+cos2b)/2，可将（5）进一步简化为下式：
4bcos2b-2sin2b+π=0 …………………………………………………………（6）
将x=2b代入（6），最后得关于x的方程：
2xcosx-2sinx+π=0 ……………………………………………………………（7）

综合（1）、（3），有：
r/R=sina/sinb=sin(π-2b)/sinb=2cosb，而cosb=cos(x/2)，x∈(0，π)，因此只要求出方程（7）在(0，π)内的解，两圆半径比自然就能求出来了。现在问题转变为求方程（7）在(0，π)内的解。

易知（7）是一个三角函数的超越方程，不具有特殊性，用初等数学的方法无法求得精确解（事实上这个方程的解无法表示成有理式或确定的超越式形式，利用微积分方法也只能求出关于x的隐函数表达式，求不出一个确定的有理式或超越式解），此时可用超越方程的数值解法求得相对精确的近似解。可用函数图像法结合二分法求近似解。

解方程（7）转变为求函数f(x)=2xcosx-2sinx+π在区间(0，π)内的零点（即函数图像与x轴交点）。在给定区间内取特殊点描点作图，可知图像零点在区间[π/2，2π/3]内。事实上由f(x)是连续函数，且f(π/2)=π-2＞0、f(2π/3)=π/3-√3＜0（√表示二次根号）可知零点在区间[π/2，2π/3]内。以[π/2，2π/3]为初始区间，下面用二分法求f(x)=0的近似解，为方便，用保留七位小数的近似值替代根式，π值取3.1415927。

第一次二分：区间[π/2，2π/3]中点为x=7π/12=π/2+π/12。
已知sin(π/6)、cos(π/6)的值，用倍角关系可求得：
sin(π/12)=(√6-√2)/4=0.2588190，cos(π/12)=(√6+√2)/4=0.9659258；
sin(7π/12)=cos(π/12)=0.9659258，cos(7π/12)=-sin(π/12)=-0.2588190；
则f(7π/12)=0.2611199＞0，零点落在区间[7π/12，2π/3]内。

第二次二分：区间[7π/12，2π/3]中点为x=5π/8。
已知sin(π/12)、cos(π/12)的值，用倍角关系与和差化积关系可求得：
sin(5π/8)=0.9238795，cos(5π/8)=-0.3826834
则f(5π/8)=-0.2089605＜0，零点落在区间[7π/12，5π/8]内。

按照以上做法再经过数次二分，可求得f(x)=0在区间(0，π)内的近似解为：x≈1.9056957。此时f(1.9056957)≈0.0000001，再分还可知精确解落在区间(1.90569570，1.90569575)内，因此取近似值∠AQB=x≈1.9056957弧度，精确到小数点后七位，精度已经相当高了，换算成角度为∠AQB≈109.1883°≈109°11′18〃。
用近似解x≈1.9056957可求出cos(x/2)≈0.57936425，因此r/R比较精确的近似值为：
r/R=2cos(x/2)≈1.1587285，或写成R/r≈0.8630149。

保留四位小数：r/R≈1.1587，或R/r≈0.8630，说明绳子长度要长于草地半径。

画图可知相交部分的面积S随x=∠AQB的减小而增大。x→0时，S→定圆面积；x→π时，S→0。R=r时x=2π/3，可算出S约为定圆面积的39%，因此要使S为定圆面积的一半，∠AQB要小于2π/3，定圆圆心落在动圆内部，当然就有r＞R。

Answer 4

是的，这个角度其实是不能确定的。主要原因是等腰三角形ABC的两个底角的角分线不是对称的，所以，等腰三角形边长变化时，BD和AE变化的幅度不同，且不成比例。这样，角x 就会随着三角形边长的变化而变化。

Answer 5

设中间的交点为O
∠C=20°，∠CED=95°，∠CDE=65°，∠EDO=75°，∠DOE=50°，∠DOA=130°，∠ADO=40°，∠OEB=30°，∠x=55°