Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0），B(2，0),C(6，0),D为y轴正半轴上一点，且∠ODB=30°，延

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0），B(2，0),C(6，0),D为y轴正半轴上一点，且∠ODB=30°，延长DB至E，使BE=BD,P为x轴正半轴上一点（P在点C右边），M在EP上，且∠EMA=60°
当P点运动时，求BP-BN的值

Answer 1

（1）∠ODB=30°，则∠OBD=60°，∴直线BD斜率k(BD)=tan120°=-tan60°=-√3

设D=D(0,d)，已知B(2,0)，∴k(BD)=(d-0)/(0-2)=-d/2=-√3 => d=2√3 => D=D(0,2√3)

∴BD=√[(2√3)^2+2^2]=4 BC=6-2=4 =>BC=BD

又BE=BD ，∴ BE=BC

（2）由题设及（1）易知 AB=BC=4=BE=BD

又∠ABD=∠CBE=60°，∴△ABD≌△CBE，且均为正三角形

∠ABD=∠ANB+∠NAB=60°，∠EMA=∠EPC+∠MAP=∠EPC+∠NAB=60°

∴ ∠ANB=∠EPC

（3）∵∠ANB=180°-∠ABD=180°-60°=120°，∠ECP=180°-∠BCE=180°-60°=120°

∴∠ANB=∠ECP，又∠ANB=∠EPC，AB=CE=4

∴△ABN≌△ECP => BN-CP

∴BP-BN=BP-CP=BC=4 与P点的位置无关