Question

用极限的定义证明lim0.99999999...=1

Answer 1

　　正确的写法是
　　　　 lim(n→inf.)0.99…9 (小数点后n位) = 1。
　　证明如下：对任给的 ε>0 (ε<1)，为使
　　　　|0.999…9 (小数点后 n 位) - 1| = 0.000…01(小数点后 n 位) = (1/10)^n < ε，
只需 n > -lnε/ln10，于是，取N = [-lnε/ln10]+1，则当 n>N 时，有
　　　　|0.999…9 (小数点后n位) - 1| = (1/10)^n < (1/10)^N <= (1/10)^(-lnε/ln10) = ε，
根据极限的定义，极限成立。

Answer 2

我来个简单的。
∵1/9=0.1111111……
∴0.99999999...=9×(1/9)=1
这根本就不用取极限，本身就等于1.

Answer 3

Answer 4

你写错了，可以写0.99999...=1，或者lim(n→∞)9∑(k=1→n)0.1^k=1，但是那个lim0.999...=1就不太规范了
下面证明第二个等式
左边=lim(n→∞)9*0.1*(1-0.1^n)/(1-0.1)
=0.9*(1-0)/(1-0.1)
=1