Question

1+4+9+16+……+n²=n（n+1）（2n+1）/6 怎么推导的？

Answer 1

1^n+2^n+3^n+4^n+…+n^n=1/6*n(n+1)(2n+1)
方法1：
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1得：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
……
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
相加得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+…+n^2)+3(1+2+…+n)+n
整理得：
1^n+2^n+…+n^n=1/6*n(n+1)(2n+1)
方法2：用数学归纳法证明1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6
1，N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2，N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3，设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋……＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋……＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6也满足公式
4，综上所述，1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6成立，得证

Answer 2

(n+1)³=n³+3n²+3n+1
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
所以
2³-1³=3*1²+3*1+1
3³-2³=3*2²+3*2+1
4³-3³=3*3²+3*3+1
....
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
将上述n项相加得
(n+1)³-1³=3*(1²+2²+3²+...+n²)+3*(1+2+3+...n)+n
(n+1)³-1³=3*(1²+2²+3²+...+n²)+3*(1+n)*n /2 +n
(n+1)³-1³-3*(1+n)*n /2 -n=3*(1²+2²+3²+...+n²)
(n+1)³-3*(1+n)*n /2 -(1+n)=3*(1²+2²+3²+...+n²)
(n+1)[(n+1)²-3n/2-1]=3*(1²+2²+3²+...+n²)
(n+1)(n² +n/2)=3*(1²+2²+3²+...+n²)
(n+1)[n(2n+1)/2]=3*(1²+2²+3²+...+n²)
1²+2²+3²+...+n²=(n+1)n(2n+1)/6=n（n+1）（2n+1）/6