Question

已知ABC为△abc的三个内角,abc分别为ABC的对边,向量m=(1-cos(a+b),cos(a-b)/2),n=(5/8,cos(a-b/2))

m=(1-cos(a+b),cos(a-b)/2),n=(5/8,cos(a-b/2)),mn=9/8 (1)求证tana.tanb=1/9(2)求absinc/(a^2+b^2-c^2)最大值

Answer 1

1,证明：
向量M*向量N=9/8
【1-COS(A+B)】*5/8+【C0S(A-B)/2】^2=9/8
经整理得：
9sinAsinB=cosAcosB
TanAtanB=1/9
2.解：
absinC/(a^2+b^2-c^2)=absinC/(2abcosC)=1/2tanC
=1/2tan(180-A-B)=-1/2tan(A+B)=-1/2(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)==(-1/2)*(9/8)*(tanA+tanB)
因为tanAtanB=1/9,
所以,tanA>0,tanB>0(A,B不可能同时为钝角）
故有：tanA+tanB>=2√tanA*tanB=2/3,（仅当tanA=tanB时等号成立。）
结论：所求最大值=(-1/2)*(9/8)*(2/3)=-3/8