已知f(x)是R上的增函数,令F(x)=f(1-x)-f(3+x),则F(x)在R上是什么函数? 40
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解:在F(x)的定义域上取x1>x2;则F(x1)-F(x2)=
f(1-x1)-f(3+x1)-[f(1-x2)-f(3+x2)]=f(1-x1)-f(1-x2)+f(3+x2)-f(3+x1).
因为已知 f(x)是R上增函数且3+x2<3+x1,1-x1<1-x2(因取x1>x2)
所以f(1-x1)-f(1-x2)<0且f(3+x2)-f(3+x1)<0
所以F(x1)-F(x2)=f(1-x1)-f(1-x2)+f(3+x2)-f(3+x1)<0
即F(x)是R上的递减函数
f(1-x1)-f(3+x1)-[f(1-x2)-f(3+x2)]=f(1-x1)-f(1-x2)+f(3+x2)-f(3+x1).
因为已知 f(x)是R上增函数且3+x2<3+x1,1-x1<1-x2(因取x1>x2)
所以f(1-x1)-f(1-x2)<0且f(3+x2)-f(3+x1)<0
所以F(x1)-F(x2)=f(1-x1)-f(1-x2)+f(3+x2)-f(3+x1)<0
即F(x)是R上的递减函数
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fX是增函数
则F(1-X) 当X增大时, 1-X逐渐减小
所以 f(1-X)是减函数
则F(X)=f(1-x)+3 是一个减函数
希望能对您有帮助!!
则F(1-X) 当X增大时, 1-X逐渐减小
所以 f(1-X)是减函数
则F(X)=f(1-x)+3 是一个减函数
希望能对您有帮助!!
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令x2>x1,则f(x2)>f(x1)
F(x2)-F(x1)=f(1-x2)-f(3+x2)- f(1-x1)+f(3+x1)
=f(1-x2)- f(1-x1)+f(3+x1)- f(3+x2)
x2>x1→1-x2<1-x1→f(1-x2)< f(1-x1)→f(1-x2)- f(1-x1)<0
x2>x1→3+x2>3+x1→f(3+x1)- f(3+x2)<0
故F(x2)-F(x1)<0→F(x2)<F(x1) 为减函数
F(x2)-F(x1)=f(1-x2)-f(3+x2)- f(1-x1)+f(3+x1)
=f(1-x2)- f(1-x1)+f(3+x1)- f(3+x2)
x2>x1→1-x2<1-x1→f(1-x2)< f(1-x1)→f(1-x2)- f(1-x1)<0
x2>x1→3+x2>3+x1→f(3+x1)- f(3+x2)<0
故F(x2)-F(x1)<0→F(x2)<F(x1) 为减函数
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f(x)是R上的增函数,则其导数f '(x)>0,
对F(x)求导,得F ' (x)=f '(1-x)-f '(3+x)=-f '(x)-f '(x)=-2f '(x)<0
故F(x)是减函数
对F(x)求导,得F ' (x)=f '(1-x)-f '(3+x)=-f '(x)-f '(x)=-2f '(x)<0
故F(x)是减函数
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由题目可知:f(X)是R上的递增函数,则f(1-x)是R上的递减函数,f(3+x)是R上的递增函数,
两者相减,很容易就知道是R上的递减函数啊。
两者相减,很容易就知道是R上的递减函数啊。
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