Question

高数“两个重要极限”这一节的课后习题，求大神😳

Answer 1

   两个重要极限是x/sinx=1

   而sinx~tanx

1.  5/3

2.  当x趋于1时   x*x-1趋于0  所以等于1

3. 1-cosx~x*x/2 所以分子x*x/4   所以等于1/4

4. cosx/2是一个有界函数大于等于-1小于等于1，
   

   
   

Answer 2

乘以sinx/(2^n)再除以sinx/(2^n).sinx/(2^n)*cosx/(2^n)=1/2sinx/(2^(n-1))，一直往前，得到sinx/(2^n*sinx/2^n)，再用重要极限，得到结果是1

Answer 3

　　2）g.e. = (5/3)lim(x→0){[sin5x/(5x)]/[sin3x/(3x)]}*lim(x→0)(1/cos5x)
　 　= ……。 (利用重要极限之一)

　　4）g.e. = lim(x→0)[sin(x^2 - 1)/(x^2 - 1)]*lim(x→0)(x+1)
　 　= ……。 (利用重要极限之一)

　　6）利用等式
　　1-cosx = (1/2)[(sinx)^2]，
可得
　　g.e. = lim(x→0){(1/2)[sin(1-cosx)]^2}/x^4
　 　= …… (再用一次)
　 　= …。 (利用重要极限之一)

8）反复利用等式
2sintcost = sin2t，
可得
　　[cos(x/2)cos(x/2^2)…cos(x/2^n)sin(x/2^n)]/sin(x/2^n)
= {cos(x/2)cos(x/2^2)…cos[x/2^(n-1)]sin[x/2^(n-1)]}/[2sin(x/2^n)]
= …
= sinx/[(2^n)sin(x/2^n)]，
于是
　　g.e. = sinx*lim(n→inf.)[x/(2^n)]/[sin(x/2^n)]
　 　= sinx。

注：这儿打字眼花缭乱，出错在所难免，但方法没错。