Question

x.y.z都是正数，求(xy+yz)/(x²+y²+z²)的最大直

Answer 1

令a=(xy+yz)/(x2+y2+z2)
由均值不等式
有[(x+y)/2]2<=(x2+z2)/2
所以a<=√[2(x2+z2)*y/[(x2+z2)+y2)<=√2y√(x2+z2)/[2y√(x2+z2)]=√2/2
当且仅当x=z=√2y/2时取等号
所以最大值是√2/2

Answer 2

(xy+yz)/(x²+y²+z²)
是齐次式，也就是说如下换元不会改变式子的值。
x=ka
y=kb
z=kc

(xy+yz)/(x²+y²+z²)
=(ab+bc)/(a²+b²+c²)

所以不妨设k=1/b
那么y=1

f(x,z)=(x+z)/(x²+z²+1)
=(2x+2z)/(2x²+2z²+2)
<=(2x+2z)/(x²+z²+2xz+2)
=2(x+z)/[(x+z)²+2]

令x+z=t

f(t)=2t/(t²+2)
=2/(t+2/t)

t+2/t>=2√(t*2/t)=2√2
f(t)<=2/(2√2)=√2/2

所以最大值是√2/2

Answer 3

写字母得数？