Question

若xn的极限为a，证明xn的绝对值的极限为a的绝对值。

Answer 1

证明如下：

数列Xn有极限a，则

对于任意给出的一个正数ε，都存在一个正整数N，使得n>N时。

|Xn-a|<ε成立。

又||Xn|-|a||<|Xn-ua<ε。

所以对于任意给出的一个正数ε，都存在一个正整数N，使得n>N时。

||Xn|-|a||<ε成立。

即|Xn|的极限趋于|ua。

得证。

解题方法：

法一：

本题也算是众多∞-∞型题里比较经典的一个，尤其是第三步用平方差公式再用等价无穷小替换的巧妙使得计算量大大缩减，其实本也可以使用洛必达法则一直洛下去。

法二：

这种方法并不推荐使用，为什么，从命题人的出发角度，他出这道题的意愿大概率并不是让你一直无脑的用洛必达，虽然洛必达法则很强大，这样的话就没区分度了。

Answer 2

|知|0<=|(|xn|-|a|)|<=|xn-a|,

两边取极限，利用夹逼原则，可知|xn|-->|a|.

反之zhi不真，请看例子：

xn=1当n为奇数时，xn=-1,当x为偶数时。

显然，|xn|=1,故xn|-->1，而xn的极限不存在。

例如：

证明

数列Xn有极限a，则

对于任意给出的一个正数ε，都存在一个正整数N，使得n>N时，

|Xn-a|<ε成立

又||1653Xn|-|a||<|Xn-ua<ε

所以

对于任意给出的一个正数ε，都存在一个正整数N，使得n>N时

||Xn|-|a||<ε成立

即|Xn|的极限趋于|ua

得证

扩展资料：

注意几何意义中：

1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；

2、所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

参考资料来源：百度百科-极限

Answer 3

0<=|(|xn|-|a|)|<=|xn-a|,
两边取极限，利用夹逼原则，可知|xn|-->|a|.
反之不真，请看例子：
xn=1,当n为奇数时，xn=-1,当x为偶数时。
显然，|xn|=1,故xn|-->1，而xn的极限不存在。