Question

求数学证明（有图） 老师说用构造函数法 高中数学

我用构造函数法不行，又用了数学归纳法还是不行，两种都教我，一定加分
n大于等于3

Answer 1

f(n) =nln(n+1)-nlnn
g(n)=lnn
f(n)/g(n) =(nln(n+1)-nlnn)/lnn
limf(n)/g(n)=lim(nln(n+1)-nlnn)/lnn)
=lim(ln(n+1)+n/(n+1)-lnn-1)/(1/n))
=lim (nln(n+1)+n^2/(n+1)-nlnn-n)
=lim(nln(n+1)/n +n^2/(n+1)-n)
=lim(ln(1+1/n)^n +n(n/(n+1)-1)) ((1+1/n)^n =e ln(1+1/n)^n=1)
=lim(1+ n*(n-n-1)/(n+1))
=lim(1-n/(n+1))<1
所以f(n)<g(n)
所以n>=((n+1)/n)^n

追问

lim我还没学到，应该是大学的吧，有没有常规点的方法

追答

n^(n+1)>=(n+1)^n
(n+1)lnn>=nln(n+1)
(n+1)/n >=ln(n+1)/n
构造函数
f(x)=x g(x)=lnx
当x>1时 可以证明f(x)>=g(x)

Answer 2

是n大于等于(（n+1)/n)^n 吗、？如果是的话，你这个题目就是错的。n=1就不成立！根本就没有证明的必要！

追问

n大于等于3

追答

把不等式的右边撑到左边去，构造函数，F（n）=（n/n+1)^nxn，然后对其进行求导，注意x的x次方就等于e的xlnx次方，构造这个函数之后，由于，F（3）大于1，只要证明他的导函数大于0递增就行！数学归纳法，同样构造F（n），就和上式一样，然后再按照数学归纳法的步骤，设fF（n-1）大于1，然后对F（n-1)化简就会得到，（n-1/n)的n次方再乘以n，要证F(n)大于1，只需证F（n）大于F（n-1）就行，即（n/n+1)^nxn大于，（n-1/n)的n次方再乘以n，两个式子做除法，就可以得证了！你可以试试！

追问

F（n）=（n/n+1)^nxn 怎样求导啊，不明白

追答

我的这个方法比较麻烦，你就采用下面那位的解法把，先对不等式两边去对数，ln，然后再移向，构造函数，只有就是我上面说的步骤！

Answer 3

你这个题目出的不对啊，当n=2时，显然不成立啊。

追问

n大于等于3

Answer 4

证明：

追答

证明：令f(x)=lnx－
xln((x+1)/x) (x≥3)
f'(x)=1/x－ln((x+1)/x)+
1/(x+1)

f''(x)=(x+1)/x－1/x²－
1/(1+x)²＞0
∴函数f'(x)为增函数
f'(x)≥f'(3)=1/3－ln4/3
+1/4＞0

∴f(x)≥f(3)=ln3－
3ln4/3=4lg3/3lg4＞0

∴lnx＞xln((x+1)/x)
∴n＞((n+1)/n)^n