Question

设函数f(x)=x(e^x－1)－ax².若当x≥0时，f(x)≥0,求a的取值范围

Answer 1

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2
若a=1/2，求f(x)的单调区间
当a=1/2时，f(x)=x*(e^x-1)-(1/2)x^2
则，f'(x)=(e^x-1)+x*e^x-x=(e^x-1)+x*(e^x-1)=(x+1)*(e^x-1)
则，当f'(x)=0时，有：x=-1，x=0
所以：
当x＜-1时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增；
当-1＜x＜0时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减；
当x＞0时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增。

若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围
f(x)=x*(e^x-1)-ax^2
所以，f'(x)=e^x-1+x*e^x-2ax=(x+1)e^x-2ax-1
则当x=0时，有：f'(x)=0。且f(0)=0
已知当x≥0时，f(x)≥0
所以，必须满足在x＞0时，f'(x)＞0【因为只有这样才能保证f(x)在x＞0时递增，且f(x)≥f(0)=0】
则：f''(x)=e^x+(x+1)e^x-2a=(x+2)e^x-2a在x＞0时大于等于零
所以，(0+2)*e^0-2a≥0
则，a≤1