Question

用夹逼定理求n次根号下(2+ 1/n)的极限

缩小的时候可以把1/n直接删掉，变成n次根号下2吗？

Answer 1

可知(2+1/n)^(1/n)>1
所以可设(2+1/n)^(1/n)=1+a(a>0)
2+1/n=(1+a)^n
1/n=(1+a)^n-2
n=1/[(1+a)^n-2]
(1+a)^n=C(0,n)+C(1,n)a+C(2,n)a^2+...+C(n,n)a^n-2
=C(1,n)a+C(2,n)a^2+...+C(n,n)a^n-1
>C(1,n)a-1=na-1
所以n=1/[(1+a)^n-2]<1/(na-1)
n<1/(na-1)
整理得
0<a<(n+1)/n^2
lim (n+1)/n^2=0
n->oo
所以 lim a =0
n->oo
所以 lim (2+1/n)^(1/n) =1
n->oo

追问

懂了，谢谢！！！