Question

如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E，交AD于点H，且AE=BE.求证：AH=2BD.

Answer 1

证明:延长BE使HE=EF,连接AF
BE⊥AC,HE=EF,易知△AHF是等腰三角形
∠HAE=∠EAF,AH=AF
AD⊥BC,BE⊥AC
∠HDB=∠AEH=90°
因∠HBD+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°,
∠BHD=∠HAE
所以∠HBD=∠AHE又∠HAE=∠EAF
∠HBD=∠EAF,BE=AE,∠BEC=∠AEF=90°
RT△BEC≌RT△AEF(ASA)
BC=AF
AH=AF
BC=AH,BC=2BD
AH=2BD

Answer 2

证明：
∵△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D
∴BD=DC, ∠ABC=∠BCA，
∵AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,∠BCA是公共角
∴△BCE∽△ACD
∴∠EBC=∠CAD
∵BE=AE,∠AEH==90°=∠BEC
∴△AHE≌△BCE
∴AH=BC=2BD