Question

如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB,EF

如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出 BFCD的值（用含α的式子表示出来）

Answer 1

（1）猜想BF=CD，证明：连接CO,OD，假设Rt△DEF绕点O旋转了β角，则∠COF=∠AOD=β，在△ABC里面易证BO=CO，在△DEF里面易证OD=OF，又因为∠FOB=∠COB+∠COF=90º+β,∠DOC=∠COA+∠AOD=90º+β,∴得∠FOB=∠DOC，所以△BOF≌△COD，(SAS)所以BF=CD。
（2）不成立，证明：同理连接CO,OD,同理可证∠FOB=∠DOC，
又在△BOC里可得CO=BO×tan60=根号三倍BO，
同理在△DOF里可得OD=OF×tan60=根号三倍OF
所以△BOF∽△COD
所以CD=根号三倍BF
（3）BF=CD×tan½α