Question

如图，在直角三角形ABC中，角ACB等于90°，CD垂直于AB于点D，AE平分角BAC交C于点K，

如图，在直角三角形ABC中，角ACB等于90°，CD垂直于AB于点D，AE平分角BAC交C于点K，交BC于点E.F是BE上的一点，且BF等于CE.求证，FK平行与AB.

Answer 1

证明：过点K作MK∥BC，交AB与点M
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90°，
∴∠DKA=∠CEA，
又∵∠DKA=∠CKE，
∴∠CEA=∠CKE，∴CE=CK，又CE=BF，
∴CK=BF
而MK∥BC，
∴∠B=∠AMK，
∴∠BAC+∠B=∠DCA+∠BCA=90°，
∴∠AMK=∠DCA，
在△AMK和△ACK中，
∴∠AMK=∠DCA，AK=AK，∴∠BAE=∠CAE，
∴△AMK≌△ACK，
∴CK=MK，
∴MK=BF，MK∥BF，
四边形BFKM是平行四边形,
∴FK∥AB．