Question

已知函数f(x)对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x).f(y),且当x>1时,f(x)<1

已知函数f(x)对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x).f(y),且当x>1时,f(x)<1,试判断f(x)在(0,∞)上的单调性并说明理由。
急等详细解答过程,谢谢!

Answer 1

令y=x=√a,f(a)=f(√a)f(√a)≥0 （a>0)
如果有条件对任意x>0 ，有f(x)≠0，则只有不等号，假定有此条件
所以对任意x>0,有f(x)>0
令x=y=1
f(1)=f(1)f(1)>0
f(1)=1
f(1)=f(x*1/x)=f(x)f(1/x)=1
f(1/x)=1/f(x)
设任意x1,x2∈R+且x1>x2
x1/x2>1,f(x1/x2)<1
f(x1*1/x2)=f(x1)f(1/x2)=f(x1)/f(x2)<1,
所以f(x1)<f(x2),
故为减函数。

Answer 2

解：因为函数f(x)对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x).f(y)，所以可令x=y=1，则：f(1)=f(1)*f(1)
得：f（1）=0或f(1)=1；
若f(1)=0，则f(2)=f(1)*f(2)=0，这与当x>1时,f(x)<1,矛盾，故：只能有f(1)=1
所以f(x)<1可化为f(x)<f(1)；由x>1时,f(x)<f(1)和函数单调性的定义知：
f(x)在(0,∞)上是减函数

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