Question

证明：如果(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1,那么(f(x),g(x)h(x)

证明：如果(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1,那么(f(x),g(x)h(x)=1

Answer 1

由于(f,g)=1，存在多项a,b，af+bg = 1
由于(f,h)=1, 存在多项式c,d，cf+dh=1
于是1 = af + bg = af + bg*1 = af + bg*(cf+dh) = (a+bcg)*f + bd * gh
于是存在多项式u(=a+bcg)，v(=bd)使得
uf + v(gh) = 1，所以(f,gh)=1

追问

谢谢

可不可以再问一道题

追答

如果是相关的题，无妨

追问

证明：如果（f(x),g(x))=1,那么(f(x)g(x),f(x)+g(x))=1

追答

利用上面的结论，只要证明(f,f+g)=1与(g,f+g)=1。
由对称性，只要证明(f,f+g)=1。
事实上，(f,f+g)=(f,g)=1，证毕

追问

最后一句的理由是什么

追答

严格地说，也是用一样的跟刚才一样的方法：

(f,g)=1 -> af+bg = 1 -> (a-b)f + b(f+g) = 1

追问

求出(f,f+g)=1与(g,f+g)=1是不是像上一题差不多？

我懂了

这种题遇到了想不到怎么办？

有什么解题思路吗？

追答

因为这些都是最基本的性质，所以没有什么特别的思路，反复利用af+bg=1即可。
最大公约数最基本的性质就那么几条，记下来，灵活应用

追问

大神你是数学专业的吗？！

？！

追答

是。

追问

你多大了，好厉害呀

？？

追答

百度知道不是个聊天的地方，你先采纳了，然后在私信上可以慢慢说