Question

一道数学高数题，求详细解答

Answer 1

(1)已知f(x)在(-∞，+∞)二阶导数连续，所以可知f(x)在(-∞，+∞)连续.
当x≠0时，
g(x)=f(x)/x,
因为有限个连续函数的积也是连续函数，所以g(x)=f(x)/x在x≠0上连续；
要使g(x)在(-∞，+∞)连续，则只需证g(x)在x=0处连续.
x趋于0时,
limg(x)
=limf(x)/x
=lim[f(x+0)-f(0)]/(x-0)
=f'(0)
所以当且仅当f(0)=a=f'(0)时，g(x)在x=0处连续.（证某点连续，即证该点的极限值等于函数值）
(2)已知f(x)在(-∞，+∞)二阶导数连续，所以可知f'(x)在(-∞，+∞)连续.
当x≠0时，
g(x)=f(x)/x,g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2，
因为有限个连续函数的积也是连续函数，所以g'(x)在x≠0上连续；
要使g'(x)在(-∞，+∞)连续，则只需证g'(x)在x=0处连续.（先求出g'(0)，再证该点极限值等于函数值）
△x趋于0时,
g'(0)
=lim[g(△x+0)-g(0)]/△x
因为g(0)=a=f'(0),所以
g'(0)
=lim[g(△x)-f'(0)]/△x
=lim[f(△x)/△x-f'(0)]/△x
=lim[f'(x)-f(0)]/△x
=f"(0)
x趋于0时,
limg'(x)=lim[xf'(x)-f(x)]/x^2
=lim[f'(x)-f(x)/x]/x
=lim[f'(x)-g(0)]/x
=lim[f'(x)-f'(0)]/(x-0)
=f"(0)
=g'(0)
所以g'(x)在x=0处连续.
所以g'(x)在(-∞，+∞)连续.

希望能够帮助你，有疑问欢迎追问，祝学习进步！

Answer 2

（1）由 f(x)、x 的连续性可知，g(x) 在 x≠0 连续；
当 x→0，lim{g(x)}=lim{f(x)/x}=lim{[f(x)-f(0)]/(x-0)]}=f'(0)；
令 a=f'(0)，则 g(x) 在（-∞,+∞）上连续；
（2）对于 a=f'(0)，g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²；
当 x≠0 时，因 f(x)、f'(x)、x 都是连续函数，所以 g'(x) 也无间断点；
当 x→0 时，lim{g'(x)}=lim{[xf'(x)-f(x)]/x²}=lim{[f'(x)-(f(x)/x)]/x}=lim{[f'(x)-a]/x}=lim{[f'(x)-f'(0)]/(x-0)}=f"(0)；
因为 f"(x) 连续，所以 g'(x) 在(-∞,+∞)上连续；

Answer 3