Question

高中数学 关于f(x) f(x+1)的问题

f(x) 和 f(x+1)所代表的意义
已知其中一个的定义域怎样求另外一个的
已知其一的单调性、增减性怎样判断另一个的
求大神来个系统详细的解答
最好能给举个例子 。。。高一没学好。。跪谢~~==
（一些式子可能不好用输入法打，要是不嫌麻烦的话请用图片的格式吧~！）

Answer 1

首先要申明的是不管f( )括号内是什么，其本质都是一样的，打个比方，就像成龙又名陈港生、房仕龙、Jackie Chan，虽然名字变了，但都是同一个人，本质没变。这也是一个道理，比如说，
如果f(x)=2x+1，那么f(a)=2a+1，f(t)=2t+1,f(x+1)=2(x+1)+1=2x+3，
f(x²+1)=2(x²+1)+1，f(pq)=2pq+1
由此可见，如果把f( )运算法则比作成龙这个人的话，那么括号内的各种字母式子就相当于成龙的各种名字外号别称，人们对成龙的称呼可以多种多样，但是成龙这个人是独一无二的，因此这些称呼都可以看做是同义词！也就是说，不管括号内怎么变，f( )这套运算法则是固定的，因此可以把括号内看成是等价的，比如 f(x+1)内的（x+1)等价于f(x)内的x。因此这种题有个最好的方法就是换元，把括号内的各种式子字母都用一个变量t来表示，这样就能解决各种问题。
P.S： 另外就是要注意定义域指的是自变量（也就是字母）的范围，而不是括号内式子的范围。

比如f(x)定义域[1，2]，对于 f(x+1)，可令t=x+1,那么f(t)内的t等价于f（x)内的x，因此有1≤t≤2
即1≤x+1≤2，得到0≤x≤1，因此 f(x+1)定义域是 [0,1]
注意 f(x+1)定义域是x的范围而不是（x+1）的范围，刚才已经强调过，下同。

另外比如f(x+1)定义域[1，2],可令t=x+1，因为1≤x≤2,所以2≤t≤3,而f(t)中的t等价于f(x)中的x，所以f(x)定义域[2，3]

至于单调性的判断，同样也是换元法，注意事项同上，比如：
比如f(x)=x²在（-∞，0]单减，那么可令t=x+1，因为f(t)跟f(x)一样，单调性相同，所以f(t)也在（-∞，0]单减，此时t≤0，也就是x+1≤0,x≤-1 所以 f(x+1)在（-∞，-1]单减

另外如果f(x+1)在（-∞，0]单增，令t=x+1，因为x≤0,所以x+1≤1，也就是t≤1，而f(t)中的t等价于f(x)中的x，所以f(x)在（-∞，1]单增

总之，LZ把本质看透，头脑清醒，就不会有太大问题。希望上述解释能有所帮助( ^_^ )
鉴定完毕

Answer 2

呵呵，这就是平移，从f(x)到f(x+1)向左平移一个单位

Answer 3

也可以这样理解，曲线f(x)不动，直角坐标沿x轴正向平移1个单位就得到了曲线f(x+1),因为新的自变量需要+1才与原来自变量相等，所以新的自变量比原自变量小1。