Question

笔算开方～～～～～

怎么笔算开方？ 通俗一点不要那么复杂

Answer 1

1．从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数从小数点起向右每隔两位一节，用“，”号将各节分开；
2．求不大于左边第一节数的完全平方数，为“商”；
3．从左边第一节数里减去求得的商，在它们的差的右边写上第二节数作为第一个余数；
4．把商乘以20，试除第一个余数，所得的最大整数作试商(如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商)；
5．用商乘以20加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，就把这个试商写在商后面，作为新商；如果所得的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止；
6．用同样的方法，继续求。

上述笔算开方方法是我们大多数人上学时课本附录给出的方法，实际中运算中太麻烦了。我们可以采取下面办法，实际计算中不怕某一步算错！！！而上面方法就不行。
比如136161这个数字，首先我们找到一个和136161的平方根比较接近的数，任选一个，比方说300到400间的任何一个数，这里选350，作为代表。
我们计算0.5*(350+136161/350)得到369.5
然后我们再计算0.5*(369.5+136161/369.5)得到369.0003，我们发现369.5和369.0003相差无几，并且，369^2末尾数字为1。我们有理由断定369^2=136161
一般来说能够开方开的尽的，用上述方法算一两次基本结果就出来了。再举个例子：计算469225的平方根。首先我们发现600^2<469225<700^2,我们可以挑选650作为第一次计算的数。即算
0.5*(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有685^2末尾数字是5，因此685^2=469225
对于那些开方开不尽的数，用这种方法算两三次精度就很可观了，一般达到小数点后好几位。
实际中这种算法也是计算机用于开方的算法

Answer 2

不等式法
以√6为例。稍加估算就知道 0<√6-2<1/2
三边平方得0< 10-4√6<1/4，此时10/4 >√6 > 10/4 -1/4/4，即2.5>√5>2.5-1/4/4
再平方，0<196-80√6<1/16，此时196/80 >√6 >196/80 -1/16/80即2.45√2 >2.449218
……每平方一次，小数点后的精确位数就乘2(灰色字是准确的数位），这是相当好的，可是你将要面对恐怖的天文数字。

另一种优化的方法: 佩尔方程与渐近分数结合
上面的方法虽然简单，可是数字大，而且算出来的不是渐近分数，如果用渐近分数能把计算过程中的数字减少一点。

以√5为例，考虑佩尔方程x^2-5y^2=1的所有正整数解（x,y)，x/y都是√5的渐近分数。
假设其中一组解是(x,y)，再设x'-√5y'=(x-√5y)n，同样地x'/y'也是√5的渐近分数。

上面两条结论的证明在此略去。根据上面结论，而且不难找到9^2-5*4^2=1，于是
(9-4√5)^2=161-72√5，√5约等于161/72=2.236111
(161-72√5)^2=51841-23184√5, √5约等于51841/23184=2.2360679779158

从连分数的性质可以估算出误差小于分母的平方的倒数。如上面的51841/23184，误差小于1/231842=1.8605×10^-9

但是这种方法的缺点是要解出佩尔方程。其实解佩尔方程x^2-dy^2=1不需要狂试数，把√d化成连分数。把二次根式展成连分数是挺容易的，在这里我不再作展开啦，有兴趣的话可以到网上找找看。

泰勒公式,跟牛顿二项式差不多,考虑函数x^(1/2),这里略。

迭代法
假设我们已经有一个较好的初值x,x²≈n,
设修正值为a,即(x+a)²≈n,x²+a²+2ax≈n,忽略很小的a²，即x²+2ax≈n，
从而a≈(n-x²)/(2x)，x+a≈(n+x²)/(2x)
把(n+x²)/(2x)的值从新代替x，将得到更好的精确值，下面证明0≤|( (n+x²)/(2x) )²-n| < |x²-n|

现在如果其中一个迭代值x>√n那么
(n/x +x)/2<(x²/x +x)/2 =x又
(n/x +x)/2≥√n （基本不等式）
于是迭代数列是有下界的递减数列，也就是结论了。

类似地，如果x<√n则n/x +x≥√n回到前一种情况，如果x很接近0，这时候结论可能会不成立，所以结论要修正一下-_-~~,但是得到新的迭代值后一齐正常，不影响迭代。可以说，对任何正数作初值依然能存在极限。
这极限自然是√n。

关于这个迭代法也有别的证明。

二倍开平方法
广西平南 陈信成 chenxincheng2317@126.com
我的百度空间是：http://hi.baidu.com/cxczzz

我以前以为自已自创了笔算开平方方法，现在上网一看，类似的方法早就
已经有了，但还是把自己的方法贴出来，希望大家继续改进，以后能像计算除法一样开平方。

一．解任意数 7859.87的平方根

先移位，后计算，本位估平方，前面估相乘。

第一步移位成为1~100之间的数:
7859.87移位后得78.5987

第二步计算:
16 16 12 10 10 每个结果数都要和前面的
8. 8 6 5 5 二位结果数相乘加自己的平方
———————
7 8.5 9 8 7
6 4 8的平方小于78
————————
1 4 5.9 8 7
1 2 8 16*8+8*8/10<145.987
6 4
————————
1 1 5.8 7
9 6 16*6+16*6/10+6*6/100
9 6 <115.87
3 6
————————
9 9.1
8 0 16*5+16*5/10+12*5/100
8 0 +5*5/1000<99.1
6 0
2 5
—————————
1 0 4.7 5 余数,余数点号退1位
8 0 第一个前面相乘,16*5=80
8 0 第二个前面相乘,16*5=80
6 0 第三个前面相乘,15*5=60
5 0 第四个前面相乘,10*5=50
2 5 本位平方,5*5=25
———————————
1 6 0.9 7 5 余数,余数点号退1位

结果四舍五入保留小数点后面3位,8.867
余数点号退一位划清各个数的位。
余数小于二倍结果数用来检验结果是否正确,二倍结果数是几个数的叠加

第三步结果数移位: 8.867移位后得 88.67

Answer 3

Answer 4

用二分法行不行
通俗来说就是取中点
先取整数，在不断取两个数的中点