Question

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC交CO于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE。求证：FK∥AB

Answer 1

证明：过点K作MK∥BC，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

又∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90°，

∴∠DKA=∠CEA，

又∵∠DKA=∠CKE，

∴∠CEA=∠CKE，∴CE=CK，又CE=BF，

∴CK=BF

而MK∥BC，

∴∠B=∠AMK，

∴∠BAC+∠B=∠DCA+∠BCA=90°，

∴∠AMK=∠DCA，

在△AMK和△ACK中，

∴∠AMK=∠DCA，AK=AK，∴∠BAE=∠CAE，

∴△AMK≌△ACK，

∴CK=MK，

∴MK=BF，MK∥BF，

四边形BFKM是平行四边形，

∴FK∥AB．

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Answer 2

证明：角平分线定理：AC/AD=CK/KD
AC/AB=CE/BE
射影定理：AC²=AD*AB
∴CK/KD=BE/CE=BE/BF=CF/BF
∴KF//AB