Question

梯形ABCD中,AD‖bc,AD=3,BC=7,AB=CD=4 点P在BC上,E在边DC上，∠APE=60°，联结AE(1)△APE能否与△ABP相似

Rt
如能够求此时点P位置

Answer 1

【本题的确不太容易,要分情况讨论.】

解:作AF⊥BC于F,又AB=CD.

则BF=(BC-AD)/2=2=AB/2,∠B=60度=∠C.

若延长BA和CD,易知⊿MBC为等边三角形.

∵∠APE=∠ABP=60度.

∴若⊿APE与⊿ABP相似,则必须∠PAE=∠BAP或∠PEA=∠BAP.

①当∠PAE=∠BAP时,点P到AB,AE的距离相等.(角平分线的性质)

∵∠BAP=180度-∠B-∠BPA=120度-∠BPA;

   ∠CPE=180度-∠APE-∠BPA=120度-∠BPA.

∴∠CPE=∠BAP=∠PAE;

又∠C=∠APE=60度,则∠PEC=∠PEA.

∴点P到CE,AE的距离相等.(角平分线的性质)

∴点P到CE,AB的距离相等.(等量代换)

∴点P在∠BMC的平分线上,即此时P为BC的中点,BP=BC/2=3.5;

②当∠PEA=∠BAP时,又∠CPE=∠BAP(已证).

∴∠PEA=∠CPE.(等量代换)

∴AE∥BC,即此时点E与点D重合,得CE=4.

∵∠CPE=∠BAP,∠C=∠B=60度.

∴⊿PCE∽⊿ABP,CE/BP=PC/AB.

设BP=X,则PC=7-X.

∴4/X=(7-X)/4, X²-7X+16=0,方程无解,即这种情况并不存在.

综上所述,⊿APE与⊿ABP能相似,此时BP=3.5。

Answer 2

可能相似，相似当且仅当P为BC中点、CE：ED=49：15