Question

这是个对于我来说很难的数学问题→↓

已知函数y=x+1/x有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，√t]上是减函数，在[√t，+∞）上是增函数
1、已知f（x）=4x²-12x-3/2x-1，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间及值域。
2、对于1中的函数f（x）和函数g（x）=﹣x﹣2a，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g(x₂)=f(x₁)成立，求实数a的值。（求详细解答，跪求大师！！~~~~~~）

Answer 1

题目有误：应该是已知函数y=x+t/x有如下性质：如果常数t＞o,那么该函数在（0，√t)上是减函数，在（√t,+∞)上是增函数。

解：(1)已知f(x）=4x^2-12x-3/2x+1，x∈[0,1],利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
f(x）=(4x^2-12x-3)/(2x+1)
=[(2x+1)^2-8(2x+1)+4]/(2x+1)
=(2x+1)-8+4/(2x+1)
令（2x+1)=a，
原式=a+4/a-8，
当a=2即x=1/2时、取得最小值-4，
f(x)的单调区间:x∈[0,1/2],单调递减，x∈[1/2,1],单调递增，
f（0）=-3
f（1）=-11/3
求函数f(x)的值域∈[-4,-3]，
（2）当a≥1时，对于（1）中的函数f(x)和函数g(x）=x^3-3a^2x-2a,若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立，求实数a的取值范围。
对函数g(x)求导易知：a大等于1时,函数g(x)=x^3-3x*a^2-2a ,x属于[0,1],g(x)在[0,1]上是单调递减的 ，
当a≥1时，对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立，也就是在区间[0,1]上g(x)的值域包含f(x)的值域 ，
而g(x)在[0,1]上是单调递减的,故只需:
g(0)=-2a>=-3,a<=3/2
g(1)=1-3a^2-2a<=-4,a>=1或a<=-5/3
∴1<=a<=3/2。

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Answer 2