Question

数学难题，求过程

如图，∠b=∠c=90°,,M是BC的中点，DM平分∠ADC
求证AM平分∠DAB

Answer 1

在AD上截取DN=DC，连接MN，
∵DM平分∠ADC，
∴∠NDM=∠CDM，
在△MDC和△MDN中

DN＝DC ∠NDM＝∠CDM DM＝DM
∴△MDC≌△MDN（SAS），
∴∠C=∠DNM=90°=∠ANM，CM=NM=BM，
∵∠B=90°，
∴∠B=∠ANM=90°，
在Rt△ABM和Rt△ANM中

AM＝AM
BM＝MN
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN，∠BAM=∠NAM，
∴AM平分∠BAD．

追问

如图，已知BD平分角ABC,∠A+∠C=180°,则AD与DC是否相等？请说明理由。

追答

相等

在BC上截取BE=BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△BAD和△BED中，

BA＝BE
∠ABD＝∠EBD
BD＝BD
∴△BAD≌△BED（SAS），
∴DA=DE，∠A=∠BED，
∵∠BED+∠DEC=180°，∠A+∠C=180°，
∴∠C=∠DEC，
∴DE=DC，
∴DC=AD．

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Answer 2

题目已知条件角平分线、垂直等
所以：做MN⊥AD，则MC=MN (角平分线上点到叫两边距离相等)
所以MC=MB=MNRT△ABM
所以RT△ABM≌RT△ANM（HL）
所以∠BAM=∠NAD
所以AM为∠BAD平分线

追问

如图，已知BD平分角ABC,∠A+∠C=180°,则AD与DC是否相等？请说明理由。

Answer 3

过M作MN┴AD于N,由于DM平分∠ADC ∠c=90° 根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知
MC=MN 又M是BC的中点
所以MN=MC=MB
因为:MN┴AD
所以∠ANM=90°= ∠c 又MN=MB AM为公共边
所以 ∆MNA全等于∆MBA
所以∠BAM=∠NAM即:AM平分∠DAB

追问

如图，已知BD平分角ABC,∠A+∠C=180°,则AD与DC是否相等？请说明理由。

追答

不一定相等，只有当∠A＝∠C时才相等(角平分线上的点到角两边的距离相等)