Question

初二几何（做辅助线截长补短）

如图已知，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的平分线AD和CE相交于点O，求证：AE+CD=AC

Answer 1

证明：在AC上截取CG=CD，连接OG
因为三角形ABC的平分线AD和CE相交于点O
所以角OAE=角OAG
角OCG=角OCD
因为OC=OC
所以三角形COD和三角形COG全等（SAS)
所以角ODC=角OGC
因为角ODC+角ADB=180度
角OGC+角OGA=180度
所以角ADB=角OGA
因为角B+角ACB+角BAC=180度
角B=60度
所以角BAC+角ACB=120度
所以角OAC+角OCA=60度
因为角AOC+角OAC+角OCA=180度
所以角AOC=120度
因为角AOC=角DOE
所以角DOE=120度
因为角B+角ADB+角DOE+角BEO=360度
所以角ADB+角BEO=180度
因为角BEO+角OEA=180度
所以角OEA=角ADB
所以角OEA=角OGA
因为OA=OA
所以三角形OAE和三角形OAG全等（AAS)
所以AE=AG
因为AC=AG+CG
所以AE+CD=AC

Answer 2

证明：在AC上取一点F，使CF=CD,连接OF
∵AD,CE分别是∠BAC,∠ACB的平分线 ∴∠3=∠4 ∠1=∠2
在三角形DOC和三角形FOC中{CD=CF（已知）∠1=∠2（已证）OC=OC（公共边）}
∴△DOC≌△FOC（SAS)
∵∠B=60° ∠2=1/2∠ACB ∠4=1/2∠BAC
∴∠AOC= 180°-(∠2+∠4 )= 180°-1/2(∠BAC+∠ACB )= 180°-1/2（180°+∠B) =90°+1/2∠ B=90°+30°=120°
∴∠AOE=∠COD=∠COF=∠AOF=60°
在△AEO和△AFO中{∠AOE=∠AOF（已证）AO=AO（公共边）∠3=∠4（已证）}
∴△AEO≌AFO(ASA） ∴AE=AF
∴AC=AF+CF=AE+CD