Question

如图，在△ABC中，AB=AC，P底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F

如图，在△ABC中，AB=AC，P底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F．
（1）求证：PD+PE=CF；
（2）若P点在BC的延长线上，那么PD、PE、CF存在什么关系？写出你的猜想并证明．

Answer 1

（1）证明：作PM⊥CF， ∵PD⊥AB，CF⊥AB，

 ∴∠FAP=∠DFM=∠FMP=90°， 

∴四边形PDFM是矩形， 

∴PD=FM． ∵PE⊥AC，且PM⊥CF，

 ∴∠PMC=∠CEP=90°，

 ∵AB=AC，

 ∴∠B=∠ACB，

 ∵AB⊥FC，PM⊥FC，

 ∴AB∥PM， 

∴∠MPC=∠B， 

∴∠MPC=∠ECP， 

∵PC=CP， 

∴△PMC=△PEC，

 ∴CM=PE，

 ∴PD+PE=FM+MC=CF；

（2）2、若点P在BC的延长线上，那么PE、PD、CF之间纯在的关系为：
                  PD=CF+PE
证明：点P在BC的延长线上
过C做CQ⊥DP,垂足为Q,
又∵PD⊥AB,CF⊥AB
∴四边形DQCF为矩形
∴DQ=CF,
又∵△ABC为等腰三角形
∴PQ=PE
∴PD=PQ+DQ=CF+PE

Answer 2

做PH垂直CF于H，垂足为H；所以PH//AB且AB//AC，所以∠B=∠A，∠HPC=∠B，∠HPC=∠ABC；又因为PH垂直CF，所以∠PHC=∠CEP，PC=PC，所以△CHP=△PEC（AAS）。所以CH=PE，且四边形中有三个是直角的是长方形，所以PD=HF。FH+CH=CF，所以PE+PD=CF

Answer 3

1.证明：作PM⊥CF， ∵PD⊥AB，CF⊥AB， ∴∠FAP=∠DFM=∠FMP=90°， ∴四边形PDFM是矩形， ∴PD=FM． ∵PE⊥AC，且PM⊥CF， ∴∠PMC=∠CEP=90°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵AB⊥FC，PM⊥FC， ∴AB∥PM， ∴∠MPC=∠B， ∴∠MPC=∠ECP， ∵PC=CP， ∴△PMC=△PEC， ∴CM=PE， ∴PD+PE=FM+MC=CF；

好了。

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谢谢哈

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可以采纳吗

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恩

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您选我为满意答案一下，谢谢

Answer 4

（1）证明：连接AP．
∵AB=AC，
∴S
△ABC
=S
△ABP
+S
△ACP
=
1
2
AB×PD+
1
2
AC×PE=
1
2
×AB×（PD+PE），
∵S
△ABC
=
1
2
AB×CF，
∴PD+PE=CF．
（2）解：CF+PE=PD．
P点在BC的延长线上，过P做AB⊥PD，过C作AB⊥CF，过P作PE⊥AC，交AC的延长线于E点，连接AP
∵AB=AC，
∴S
△APB
=S
△ABC
+S
△ACP
=
1
2
AB×CF+
1
2
AC×PE=
1
2
×AB×（CF+PE），
∵S
△APB
=
1
2
AB×PD，
∴CF+PE=PD．

Answer 5

果然度娘是万能的，当年我们还在为这题绞脑汁，现在只需度娘！