Question

如图，在Rt△ABC中，∠c=90，AC=12，BC=16∠BCA的平分线AD交BC与D，经过A,D两点的圆o交AB与E，且点o在AB上

求CD的长及圆O的半径长

Answer 1

连接OD，则OA=OD=OE，
因为∠BAC的平分线AD交BC于D
所以∠OAD=∠DAC
因为OA=OD 所以∠OAD=∠ODA=∠DAC
所以OD//AC ∠C=90° 所以 ∠ODB= 90°
即 BC是圆O切线
因为∠C=90°，OD∥AC，
所以OD/AC=BO/AB，
因为AC=12，BC=16，
所以AB^2=AC^2+BC^2=144+256=400，
AB=20，
OD/12=(20-OA)/20，
OD=OA
解得OD=15/2，
则BO=20-15/2=25/2，
所以BD^2=BO^2-OD^2=(625/4)-(225/4)=100，
则BD=10，
所以CD=BC-BD=16-10=6。

Answer 2

AB=√(AC^2+BC^2)=20，
∵AD平分∠BAC，
∴CD/BD=AC/AB，CD/(16-CD)=12/20=3/5，
5CD=48-3CD，CD=6，
∴AD=√(AC^2+CD^2)=6√5，
连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90°=∠C，
∵∠DAE=∠DAC，
∴ΔACD∽ΔADE，
∴AC/AD=AD/AE，
∴AE=(6√5)^2/12=15，
∴⊙O半径 为7.5。