Question

已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对于任意的x,y∈R都有f(x+y)=xf(y)+yf(x)

(1)求f(0)f(1)的值
（2）判断其奇偶性
（3）若f（x）在【0，无限大）上是增函数且f（x）+f（x-1|2）小于0求x范围

Answer 1

你好，
分析：
（1）令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，解之即可求得f（0），再有x=x2+x2，即可证得对任意的x∈R，有f（x）＞0；
（2）设x1，x2∈R且x1＜x2，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．
解答：解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0）
∵f（0）≠0
∴f（0）=1
又对于任意x∈R， f(x)＝f(x/2+x/2)＝[f(x/2)]²≥0又f(x/2)≠0，∴f（x）＞0
（2）设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]
∵x1-x2＜0
∴f（x1-x2）＞f（0）=1
∴f（x1-x2）-1＞0
对f（x2）＞0
∴f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0
∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数

希望有所帮助，不懂可以追问，有帮助请采纳

Answer 2

设x=0，y=0，则有f（0+0）=0f（0）+0f（0）=0，所以f（0）=0，然而条件说f（X）定义在R上且恒不为零，所以题目有问题，无法解答