Question

已知函数f(x)(x属于R)满足：对于任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1/2

已知函数f(x)(x属于R)满足：对于任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1/2恒成立，且当x>0时，f(x)>-1/2恒成立.
（1）求f(0)的值
（2）判定函数f(x)在R上的单调性，并加以证明
（3）若函数F（x)=f(max{-x,2x-x^2})+f(-k)+1(其中max{a,b}=a,(a>=b),b,(a<b))有三个零点，求k的取值范围

Answer 1

(1) f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) + 1/2
所以 f(0) = - 1/2

(2) f(0) = - 1/2 = f(x-x) = f(x) + f(-x) + 1/2
所以 f(x) + f(-x) = -1，即 f(x) = -1 - f(-x)
设 x1 < x2∈R，则x2 - x1 > 0

f(x2) - f(x1) = f(x2) - [-1 - f(-x1)] = f(x2) + 1 + f(-x1) = f(x2 - x1) + 1/2
因为当 x > 0，f(x) > -1/2，所以
f(x2) - f(x1) = f(x2-x1) + 1/2 > -1/2 + 1/2 = 0
所以 f(x) 是单调递增函数。

(3)

i) 当 -x ≥ 2x - x^2，即 x^2 -3x ≥ 0，x ≥ 3或 x ≤ 0时，
F(x) = f(-x) + f(-k) + 1 = f(-x-k) + 1/2
因f(x)单调递增，-x-k函数单调递减，
所以F(x)在 x ≥ 3或 x ≤ 0 区间内必有一个0点。

ii) 当 -x < 2x - x^2，即 0<x<3 时，
F(x) = f(2x - x^2) + f(-k) + 1 = f(-x^2 + 2x -k) + 1/2
欲使F(x)有两个零点，必须保证
u(x) = -x^2 + 2x -k 在0<x<3区间内有两个零点。
因为 u(x) = -(x-1)^2 + 1-k
画个函数图像就很清楚，u(x)为以1为对称轴开口向下的函数，为使u(x)在0<x<3内有两个0点，只需
u(0) < 0;
u(1) ≥ 0;
即

-k < 0,
1-k ≥ 0
所以k的取值范围为：0 < k ≤ 1

Answer 2

1)f(0+0)=f(0)+f(0)+1/2

f(0)=-1/2

2)limx2=0，但是右趋近，也就是是正数，
f(x+x2)=f(x)+f(x2)+1/2

f(x+x2)-f(x)=f(x2)+1/2
{f(x+x2)-f(x)}/x2={f(x2)+1/2}/x2
由导数定义可得f(x)的导数={f(x2)+1/2}/x2
再有f(x2)>-1/2恒成立。所以{f(x2)+1/2}/x2>0
f(x)的导数大于零很成立，所以单增函数
3）x<0,x>3时，max{-x,2x-x^2}=-x
F（x)=f(max{-x,2x-x^2})+f(-k)+1=f(-x)+f(-k)+1=f(-(x+k))+1/2
令F（x）=0，
f(-(x+k))+1/2=0
-(x+k)=0
k=-x
k<-3,K>0
0<x<3时，max{-x,2x-x^2}=2x-x^2
F（x)=f(max{-x,2x-x^2})+f(-k)+1=f(2x-x^2)+f(-k)+1=f(2x-x^2-k)+1/2
2x-x^2-k=0
由F（x）有3个零点，第一种情况下x只有单根，所以第二种条件下必有两个不同的根，
也就是g（x）=2x-x^2-k在{0,3}中与X轴有两个交点，
得0<=k<1

综上所述，0<=k<1

追问

谢谢

Answer 3

令x=y=0
有f(0)=2f(0)+1/2
f(0)=-1/2

Answer 4

1. 设x=y=0则有f(0)=f(0)+f(0)+1/2,得到f(0)=-1/2
   

2. 由于当x>0时有f(x)>-1/2=f(0),故在X>0时函数是单调增的.

   设x=-y得到f(0)=f(x)+f(-x)+1/2,即有f(x)+f(-x)=-1

      故有f(x)关于点(0,-1/2)对称,则在x<0时也是单调增的

综上,有在R上是单调增的函数.